服貿網摘

本想上網找些談服貿的文章看看，結果發現所看的幾乎都不是台灣人寫的 …… 看來是我腦筋出毛病了。台、港報章的新聞就略過不提了，以下另外幾篇較有意思的：

• 服貿自救寶典(I) : 服貿協議將對誰有影響。鄭秀玲教授的懶人包，好歹也要看看吧。
• 懶人包：那些服貿反對者（故意）忘記告訴你的事…。贊成服貿一方反駁鄭秀玲教授。
• 用懶人包堆疊而成的公民意識。放在香港的話，不知會否被譏為離地、和理非非的犬儒，或者被 "plasticized"，但我覺得讓頭腦冷靜一下是好的。
• 蔡宗珍教授，《人權與正義》（從《玉門春風》網誌知道有此文章） 。文章談的並非贊成或反對服貿，而是從憲法觀點看服貿條文存查是否合乎程序公義，值得一讀。
• 「如果你心裡也反對政府，做做樣子，放我過去吧。」我這個外人並無資格說三道四，但坦白說，聽到這句話，我覺得很不自在，也很迷惑。學生佔領立法院，可視作公民抗命，這個我沒有意見，但無論通過服貿會否影響台灣主權存亡，台灣都不是面臨美國人所謂「明顯而迫切的危險」(clear and present danger)，而就算警察清場，也看不出會有流血鎮壓的可能。在此情況下，示威者與警方都只是各安其職，一邊公民抗命，一邊維持治安而已。慫恿警察「做做樣子」，不執行任務，其實等於慫恿警察放棄政治中立。我不清楚台灣的公務員傳統，但香港受英國公務員傳統熏陶，這方面是比較敏感的，而一想到佔領中環時，會不會有人這樣呼籲警察，或應不應如此呼籲，我就覺得很迷惑。（當然，這是無謂的擔心，因為我城的朝廷鷹犬，是絕不會聽從市民呼籲的，反而會拿「紀律部隊」、「社會安寧」、「維護法紀」等等來作擋箭牌。）
• Taiwanese Occupy Legislature Over China Pact; The Diplomat. 這是一眾英語媒體報道中，寫得較深入的一篇，勝於路透社、經濟學人、衛報、BBC、外交政策雜誌和CNN的報道，但相對網上大量的中文文章，仍有不足。讀這些報章的讀者留言時，倒偶有驚喜。例如有台灣讀者指中國對台灣有敵意，有個扮西人的五毛讀者就走出來辯護，大意是說現在已不是九十年代那個用導彈恐嚇台灣的年代了，現在中國只想和台灣經濟交流之類。誰知接著就有另一位台灣讀者引用台灣官方資料，說2012年中國瞄準台灣的導彈數目，比先前的1400支增加了200支，令我看得哈哈笑。那位五毛之後就支開話題，轉談其他了。
• 环球时报：台“立法院”被攻占，不妨围观。中國的立場，當然也是必看。文章中有這麼一句：「《服贸协议》是两岸ECFA后续协议之一，它的总精神是两岸互利，但大陆方面开放的服务业项目要远多于台湾方面，大陆的让利不容否认。 」當年和香港簽 CEPA，明明也是互惠互利，中共媒體卻形容為「中央送給香港的大禮」，而現在的 ECFA 卻說成「兩岸互利」，何解？無他，香港已成囊中物，但台灣仍需統戰也。然而，文章剛說完「兩岸互利」，就已經不甘心，忍不住要說「大陸的讓利不容否認」了。天下沒有白吃的午餐，當有一日這齣《浮士德》演到尾聲，恐怕台灣人就會聽到大陸恩主的名言 ── 「要不是有大陸照顧，你們台灣早就完蛋了。」
• 丘亦生 - 「慘痛」的CEPA。溫故知新。
• 給台灣的朋友：跟大陸談服貿有如跟騙子談合約。回心一想，上面那個反駁鄭秀玲的懶人包是有其道理的，但大前提是對手並非那個強大、缺乏法治精神兼無時無刻不想吃掉你的國家。

網文偶讀之百年一遇

1. R.J. Oosterbann, Frequency and regression analysis of hydrologic data (pdf) 
2. Floods: Recurrence intervals and 100-year floods; USGS 
3. 看香港如何防“水浸” 排水干渠系统200年一遇；北京晚報，2012年07月22日 
4. 香港渠務署網頁

兩年前七月廿一日的北京暴雨，據說令全中國非常感動，各人為了賑災，有錢出錢，有妹捐妹。內地大部份的報章都稱此暴雨為「百年一遇」，局部地方的單日降雨量甚至是「五百年一遇」云云，惹來網民嘲弄，謂「在我短短的一生裡，百年一遇的洪水見過10次，千年一遇的地震見過2次，唯獨四年一遇的全民大選還沒遇見過」。這句譏諷話獲內地網民瘋傳之餘，報章亦有人指摘「官方」以「百年一遇」之說來推卸責任，例如《金羊網》就有篇專欄文章說：

筆者認為，說白了，無論是推出“40年一遇”、“60年一遇”、“61年一遇” 之說，還是拋出“百年一遇”、“接近五百年一遇”之論，無非就是想告訴大家︰這是老天爺的錯，要怪就怪老天爺去吧。

「百年一遇」的定義
「百年一遇」指的其實是自然現象的重現期 (return period)。「重現期」是大學專科（譬如水利工程學）術語，但它牽涉的統計概念只屬高中程度。簡單來說，若某自然現象 A，於某單位時間（譬如一日）內發生的機會率為 p，那麼其重現期（譬如以日數計），就是 1/p 個時間單位。

詳細一點來說，當我們談及重現期的時候，背後假設了 A 於每個單位時間內發生與否，皆為獨立事件，亦即是假設 A 是 i.i.d. Bernoulli(p)，而所謂 A 的重現期，就是距離下一次觀察到 A 所需的平均時間。譬如我們以日為單位，現在是第一日的開首，而下一次要第 $T$ 日才觀察到 A，那麼 A 的重現期，以日數計就是 $E(T)$。很明顯：

• 第一日就觀察到 A（亦即 T=1）的機會率為 $p$；
• 第二日才觀察到 A（亦即 T=2）的機會率為 $qp$（$q=1-p$）；
• 第三日才觀察到 A（亦即 T=3）的機會率為 $q^2p$；
• 第 n 日才觀察到 A（亦即 T=n）的機會率為 $q^{n-1}p$；
• 故此 $E(T) =  p + 2qp + 3q^2p + ... + nq^{n-1}p + ...$（練習）。若讀者念過大一統計學的話，當然知道 T 依隨的實乃參數為 p 的 geometric distribution。

「重現期」既是科學術語，有關現象的定義自然要準確。假若我說「雨是 7.5 日一遇」，是沒意思的。換作「天文台沙田氣象站的雨，是 7.5 日一遇」好一點，因為指明了事件發生的地方。換成「天文台沙田氣象站錄得 40 毫米以上的單日降雨量，乃 7.5 日一遇的事件」就更好，因為說明了談話者所關心的是多大的雨。

網民嘲諷中共「官方」稱這次事件乃百年一遇，然而我找過一些內地大報，如《人民日報》、《光明日報》與《中國日報》，若不計轉載內容，它們均無提過該暴雨為百年一遇，例如《中國日報》一篇報道就只是說這次是 the most devastating downpour in the Chinese capital for 61 years。中國氣象局、北京市氣象局及其轄下機構好像也沒有以「百年一遇」來形容該次暴雨。所以，公道一點地說，當時的「百年一遇」之說，並未得到中共中央或氣象部門認可。

一些北京報紙，如《北京青年報》、《新京報》或《北京晨報》，倒報道過「百年一遇」一說，而且它們的消息來源皆為「北京市人民政府防汛抗旱指揮部副指揮潘安君」。據《北京晨報》報道：

市气候中心昨天公布的数据显示，比起21日历史罕见的大暴雨，自1951年有完整气象记录以来的京城历史上，单日降雨量排名“亚军”和“季军”的降雨日分别为1952年7月21日和1954年8月9日，但老天爷降下的雨水比起“冠军”却远远不及。
 　　昨天，市防汛抗旱指挥部副指挥、市水务局副局长潘安君通报了此次特大暴雨的四个“历史罕见”：降雨总量之多“历史罕见”，全市平均降雨量170毫米，城区平均降雨量215毫米，为新中国成立以来最大一次降雨过程，房山、城近郊区、平谷和顺义平均雨量均在200毫米以上，降雨量在100毫米以上的面积占本市总面积的86%以上；强降雨历时之长“历史罕见”，一直持续近16小时；局部雨强之大“历史罕见”，全市最大点房山区河北镇为460毫米，接近五百年一遇，城区最大点石景山模式口328毫米，达到百年一遇，……

從上述報道，可見：

1. 潘安君只說過而北京當日的全市單日平均降雨量屬「新中國」成立以來之冠，並沒說此降雨量是「百年一遇」。
2. 然而他確有聲稱「石景山模式口」當日雨量是「百年一遇」，更說「房山區河北鎮」的降雨量為「五百年一遇」。

如何估計重現期
前面提到一個現象的重現期，是距離它下次發生的平均時間。要估計這個期望值，從文獻所見，常用方法似有三種。

第一種是以簡單的相對頻數來計算事件發生的概率 p，從而推算重現期 $E(T)$。舉例說，若根據過往記錄，某 B 區於過去十年（n = 3652 日）當中，有 m = 13 日的單日降雨量超過 100 毫米，那麼，對於「B 區的單日降雨量達100 毫米以上」這個事件，我們所估計的 p 就是 $\frac{m}{n} = \frac{13}{3652} = 0.0036$，而此事件的重現期為 $E(T) = \frac1p = 281$ 日，或者 0.77 年。因此，若今天 B 區剛巧錄得 100 毫米以上的單日降雨量，我們可以稱這場雨為「0.77 年一遇」。

第二種方法是用有序統計 (order statistics)。假設我們將前例中 3652 個單日降雨量由大至小排列，發現當中排第 r = 13 的單日降雨量為 102 毫米，那麼，對於「B 區的單日降雨量達 102 毫米以上」這個事件，我們估計 $p = \frac{r}{n+1} = \frac{13}{3653}$（留意此處與第一種方法不同，分母為 n+1），而重現期為 $E(T) = \frac1p$，同樣大概是「0.77 年一遇」。

第三種方法是 distribution fitting，亦即是將過去的觀測記錄模配到理論上的統計分佈之中。若模配的是長期平均值的分佈的話（例如每年平均單日降雨量），由於大數定律，用 normal distribution 就可以了；若模配的是最大值的分佈的話（例如每年最高單日降雨量）， 較常用的則有 Gumbel distribution 與 exponential distribution 兩種。如何將觀察資料模配到理論分佈之中，或者如何檢定模配的合適度，是大學統計學的內容，此處不贅。

假設我們手頭上只有某地過往 N 年的單日降雨量記錄，可以證明（練習），無論今日我們觀察到該地的單日降雨量為何，若用上述頭兩種方法，而且 Y>N+1，我們是絕無可能得出今日這場雨是「Y 年一遇」這個結論的。《北京晨報》說北京自 1951 年起有完整氣象記錄。其實中共建政後，北京於 1951 年建立第一所氣象站，當時是否已有「完整氣象記錄」，不得而知，但就算有，從 1951 年至 2012 年才不過 61 年，因此，若說北京雨災當日，「石景山模式口」的降雨量是「百年一遇」，甚至「房山區河北鎮」的降雨量為「五百年一遇」，是絕無根據的。

若用的是第三種方法，由於所用的分佈是伸延至無限大的連續曲線，無論如何大的降雨量，我們也的確可以估計出它的重現期。問題是，若降雨量像前述的北京暴雨那樣，完全高於過往最高記錄，則如此推算出來的重現期，實際上等於是用外插法 (extrapolation) 取得。用 normal values 來估計 extreme value distribution，或者借用近年新興的說法，以白天鵝來估計黑天鵝 (black swan)，是任何受過良好基本統計訓練的大學生，都不會視為可靠的做法。

這不是說水利工程師不會用只得幾十或一百年的資料來估計「二百年一遇」事件的規模。事實上，以我們香港的渠務署為例，它對於市區排水幹渠系統（urban drainage trunk system，「幹渠」即是排駁大型集水區、防洪標準最高的渠道）與鄉郊的防洪堤堰 (flood protection bund) 的設計標準，是必須能應付「二百年一遇」的水浸。只是，工程師除了要對特定的重現期估計洪水或降雨規模之外，還要估計有關的信賴區間 (confidence interval)。更重要的，是渠務署會不時監察排水系統的表現，而不是紙上談兵。「重現期」是用來幫助工程師估計排水系統所需的設計參數，並非供官員於洪水雨災發生後用作遁辭。

StackEdit: still no juice

曾有某作者謂，現今 computing 一詞，早已脫離當初 numerical computing 的含義。若你寫的程式主要是為了科學計算，已經算是少數民族；若你的目標平台並非超級電腦、GPU 或者 SETI@home 式的 distributed computing 架構，而只是家中一部爛鬼PC裏面只得一粒的CPU其中的一個core，感覺就更加寒酸，有口難言。

但係唔聲唔聲，問題唔會自動消失。好在平日寫程式，遇到的最大問題，只是寫 documentation。科學計算用的程式與其他程式不同，靠寫在程式檔案裏頭的 comments 去解釋算則，除非算則本身是幾句可以講完，否則基本上無可能看得明白，必須另外寫一篇 LaTeX 格式的文件才清楚。然而，儘管用 LaTeX 作基本排版是很容易的事情，但若要版面悅目好讀，就麻煩得多。要是有較大的圖表的話，排版就更考功夫，甚至難以控制。萬一要打中文，則更叫人頭痛。何況 markups 始終都不及 markdowns 簡潔，所以即使我已用了 LaTeX 這麼多年，仍是無時無刻不想跳船。

幾年前有了 MathOverflow 和 Mathematics Stack Exchange，終於嚐到 MathJax 的甜頭：毋須「特定軟件」，只需用 browser，即可混合 markdowns 和 LaTeX，輕輕鬆鬆打數式，兼且 what you see is what you get。（其實近廿年前也有類似產物，就是 IBM TechExplorer，可是這是 browser plugin，每一位文件讀者均要在電腦上安裝，因此於學界不算普及。TechExplorer 的顯示效果不錯；當然，現今的 MathJax 更理想。）然而 MO 與 MSE 是討論區，不是寫 documentation 用的網站。直至去年 StackEdit 面世，打開 Google Chrome browser 就可以用 MathJax 和 markdown 寫文件，出來的效果超漂亮，又可以和 Google Drive 或 Dropbox 同步，令我非常憧憬。

可惜，日前試將自己其中一份 documentation 改用 StackEdit 重寫，發現一個很大的問題，就是 StackEdit 的 table support 非常 buggy。原則上，markdowns 只支援極簡單的表格格式，但 StackEdit 自稱支援 HTML 表格，因此本應沒有問題。然而試用之後，我卻發現 StackEdit 連簡單的 <td colspan="2" align="center"> 都無法正確處理，複雜一點的列表就更不用說。

另外有兩個比較個人的問題。其一是我不喜歡 StackEdit 乃 online editor，萬一電腦斷線就不能用；其二是若 documentation 包含影像的話，就只能連結放在雲端硬碟上的影像。用家當然可以另行將影像檔案拷貝到自家電腦上，但由於連結的只能是雲端版本，自己留底就顯得有點甩頭甩骨。

以上兩點都令我感到很不自在，故此暫時仍得依賴 LaTeX 這艘難以駕馭的船。有時感覺很唏噓。十幾廿年來，科技不斷進步，但在自己的 niche，科技進步彷彿特別慢，連基礎問題都未能解決。

勿因蟲廢言（三）

基於莫名其妙的原因，昨日忽然有較多讀者閱讀本網誌上週的文章《勿因蟲廢言（二）》。即使此處並非人氣網站，文章刊登與瀏覽量高峰之間的時差，也從未達四日那麼長。無論原因為何，重讀舊文一遍之後，為免讀者誤會，且容我澄清一下。

是次 HKUPOP 「特首民望調查」，梁振英的平均得分低於 50。梁粉認為這個結果有誤導之嫌，並提出幾項論據，其中較注目的一項，指受訪者所打的 998 個分數中，有 91 個屬零分這個「極端分數」，拉低了平均分數。

我不認為這個論據成立，原因如下：

1. 有時計算平均數，我們的確希望排除「極端」數值（離群值，outliers）的影響。然而所謂「極端」，指的不單是樣本數字的大小，還有該樣本數字出現的概率。換句話說，我們要排除的，是極端罕見而且又有極端數值的樣本的影響。舉例說，設想某個介乎 0 至 100 的數字 X，若出現 X=0 的概率為 0.49505，出現 X=100 的概率也是 0.49505，而出現 X=1, X=2, ... 以至 X=99 的概率，各為 0.0001。那麼，儘管 0 與 100 是 X 的可能數值中極小與極大的兩個，但它們才是正常的數字，絕不應排除。
2. 我們並無先驗 (a priori) 理由認為「特首民望調查」中的 0 與 100 分份屬罕見。故此它們應視為正常樣本數字，而非離群值。
3. 若論語意的話，由於問卷只解釋了 0, 50 與 100 三個分數的意義，所以受訪者揀這三個分數，比揀其他分數更正常。因此，0 和 100 更不應視為離群值。
4. 何況是次 998 個分數中，接近 9%（91 個）是零分。有如此多零分，我們更有理由相信它們並非離群值，而且受訪者所打分數其實屬多峰分布 (multimodal distribution)，而非類似鐘形曲線 (bell curve) 的單峰分布 (unimodal distribution)。
5. 退一步說，就假設分數呈單峰分布，而 0 與 100 是離群值好了。由於有效分數只可介乎 0 與 100 之間，故此屬有界分布 (bounded domain distribution)。一般而言，相比無界分布，在有界分布中，離群值對平均數不會有嚴重影響。
6. 實際上，今次樣本，在不加權的情況下，就算我們略去高低各一成樣本數字，而計算截尾平均 (trimmed mean)，結果仍與簡單的樣本平均數無大分別，兼且仍低於 50 分。

由此可見，梁粉圍繞「極端數值」的論據並不成立。

梁粉的批評，有另一個毛病，就是無視了平均分應該加權計算這個事實。

由於社會因素（例如從日間到黃昏，留在家中的成年人，應以家庭主婦和長者佔多），用固網電話做民意調查，必然有某類人會較少受訪 (under-represented)，而另一類人則訪問過多 (over-represented)。為了修正這個誤差，我們就要以受訪者的統計特徵（例如年齡、性別等等）來分組，將各組人佔受訪者總數比例，與人口普查所得的比例比較。若發現某組人於訪問中所佔比例太小，這一組樣本就要加重權數。這就是做民意調查時，受訪者經常會被問及年齡、性別等等個人資料的原因。

且不說今次調查中，打低於 50 分的受訪者，其實比打高於 50 分的還要多。就算給超過 50 分的受訪者真過半，若他們是 over-represented，一經加權修正，出來的結果也可能比 50 分低。

梁振英所得的平均分，加權後為 47.5（也就是 HKUPOP 公布的數字），未過 50，但此分數只是單點估計 (point estimate)。既是抽樣調查，就必然有統計誤差。如何分析這個統計誤差？有一篇由署名「陳電鋸」的大學博士生所寫網誌，就用了正統的 bootstrap method 來分析。結果顯示，即使考慮了統計誤差之後，我們仍有信心說，梁振英所得的加權平均分，明顯低於 50。

「輔仁媒體」刊登了另一篇反駁梁粉的文章。文章作者處理權數的方法並不妥當（概念上，權數應施加在樣本數字的出現頻率上，而非樣本數字本身；若果只是計算加權平均數這個單點估計，兩者效果並無分別，但若要做其他分析，就必須搞清楚概念），不過該文章也有有道理和有趣的地方，不妨一讀。

梁粉的另一項批評，是 HKUPOP 使用平均分不妥。這方面我是同意的，但我認為更根本的問題，並非在於「平均分」，而是曖昧不明的「分數」本身。

HKUPOP 的問卷只指明了 0-100 分這把量尺中其中三點（0、50 及 100）的意義，其他分數刻度的意思曖昧不明。儘管根據陳電鋸另一篇文章分析，多年來從 HKUPOP 調查計算所得的「特首民望」平均分數，與中大亞太研究所獨立調查所得大致吻合（不過他並無說清楚，其文章所指有很強相關的，究竟是兩個研究所的民望指數，還是兩組指數的升跌），然而，這頂多表示市民於大概同一時段內，心中所用的量尺大體一致，卻不能為升跌的幅度賦予任何意義。我們無從判斷，心中量尺刻度的意義，是否隨時而變。同是從 30 跌至 20，若於不同時間發生，意義是否一樣？即使現刻，我們亦無從判斷，能令民望從 47.5 升至 57.5 的政績，是否與能令民望從 47.5 跌至 37.5 的過失等量齊觀。

若然我們不能說明民望指數變幅的實際含義的話，「民望指數大跌」與「民望大跌」就難言是同一回事。若有不明就裏的受眾搞錯了，就算兩所研究機構並非存心誤導，伯仁也是為他們而死。

勿因蟲廢言（二）

上週香港發生了兩單非常嚴重的事件，其一是警方竟然闖入區議會，抬走正在正常開會的區議員；其二是政府以一個極其荒謬的理由，要求明明應該只受《電訊條例》監管的「香港電視網絡」流動電視業務，亦要受《廣播條例》監管，令港視於正式開台之前，必須取得本地免費或收費電視節目服務牌照。

儘管香港淪為中國殖民地以後，情況一直變壞，市民也一直說「低處未算低」，然而今次這兩宗事件，卻是香港正式告別英治年代政治格局的里程碑。舊日講求公務員政治中立，和講究規章制度的精神，今日已完完全全淪為「親疏有別」、「法律因人而異」的人治局面。兩天前於電視上聽見中國總理李克強說「中國是法治國家，不論是誰，不論職位高低，法律面前人人平等」，我聽了只得冷笑。黨大於法的國家一邊自詡法治，一邊摧殘其殖民地原有的法治制度；自稱「人民民主專政」，卻擁有永遠執政黨的野蠻人，大言不慚，指點有半熟代議政制的文明人何謂民主，何謂法治，何謂普選……甚麼叫「匪夷所思」，香港歷史就是最佳註腳。

比起上述兩宗嚴重事件，今日我於「主場新聞」看到的鬧劇就顯得非常次要，然而此事上我總算有一些實質的東西可以說，故此不妨一談。鬧劇的起因，又是「梁粉」批鬥鍾庭耀。詳情請閱以下兩篇立場迥異的網絡文章：

• 解開特首民望「不合格」之謎；《港人講地》
• 梁粉網站轟鍾庭耀 質疑特首民調用意；《主場新聞》

公說公有道，婆說婆有理？
「梁粉」批評如下：

依據港大最新的民調，以100分為滿分，特首僅獲47.5平均分，當然就被評為不合格了。然而，只要打開原始資料，就會發現998個評分者中，原來有多達615人、即逾6成人均給予特首50或以上的合格分數，其中更有29人給予100分；僅有383人給予50以下的評分。那麼，為何特首的評分又會不合格呢？最大的問題在於有91人個受訪者給予0分，就是這些極端評分，令特首的平均分大幅度拉低。

「主場」及香港大學民意研究計劃研究經理李偉健則反駁：

 評論指有91個0分樣本「拉低」平均分，沒有提到29個100分樣本同時會「拉高」平均分。港大民意計劃研究經理李偉健向《主場新聞》解釋，民望調查詢問受訪者給予官員0分至100分的評分，相信受訪者誠實回答，無論樣本是0分或是100分，都應納入計算，除非是101分，在數值範圍之外才會剔走。

李偉健強調，歷來民望調查同樣沿用這方法，公布按評分計算算術平均值（Arithmetic Mean），「沒有篩走特別低、特別高的評分。」

開門見山。我認為「梁粉」的批評有其道理，但其為己方所作辯解，一樣有問題。另一邊廂，「港大民研」的統計方法也有毛病。

Lies, damned lies, and 梁粉's statistics
統計數字不會說謊，它有的只是統計偏差。說謊的，是運用它的人。"Lies, damned lies, and statistics" 這句名言，就是用來諷刺那些蓄意運用統計數字來製造假像的人。前述「梁粉」的批評，正好拿來作「統計語言偽術」的最佳範例。

從「特首民望調查」所得到的 998 個有效評分，平均分為 47.4（「港大民研」公布數字為 47.5，略有不同，這是因為他們按受訪者的統計特徵作加權平均），低於 50，但實際上 998 個分數當中，有 615 個為 50 分或以上……至此，梁粉都沒有說錯。然而，他們沒說的是：

998 個分數當中，也有 663 個為 50 分或以下。

感覺混淆嗎？或者這樣說吧，998 個分數當中，有 383 個低於 50 分，280 個等於 50 分，335 個高於 50 分。分數的分布如下：

從 0 到 100，共有一百零一個整數，而 50 正好居中。梁粉試圖以「50 分或以上」這個標準來描繪一個梁振英有超過六成人支持的景象，可是據他們的邏輯，我們同樣可以說，以「50 分或以下」這個標準來判斷的話，有超過六成人（而且這個「超過六成」的人數比起梁粉的「超過六成」更多）反對梁振英！

我不明白一眾梁粉何以如此介懷 47.5 這個只略低於 50 的數字。若是選舉的話，兩三個百分點也許是勝負關鍵，可是像印象分這種雖非玄學，卻也「不算精密科學」的東西，47.5 和 50，實在沒有分別。換了我是梁振英，看到如此數字，高興還來不及呢。

離群值與平均數
梁粉指出，998 個分數當中，有 91 個是 0 分，這些極端評分拉低了整體的平均數。這是正確的。「主場」卻反駁梁粉，說他們沒提及樣本當中亦有 29 個 100 分，會有拉高平均分的相反效果，也同樣正確，亦再一次顯示梁粉玩弄輸打贏要的統計語言偽術。

然而，撇除梁粉的拙劣技倆不談，若樣本中可能有不少「離群值」(outliers) 的話，到底我們應該如何估計統計母體的平均數？

港大民研的李偉健指「無論樣本是0分或是100分，都應納入計算」。就一般統計調查來說，這是過時的做法（但此處有一個 catch，要押後談）。現代統計學認為「穩陣」(robust) 的做法，本網誌之前的書評其實已經提過，就是利用截尾平均 (trimmed mean)，也就是先截去最高和最低的 5-10% 數據，然後才計算平均數。

可是我們幾乎可以斷言，在「特首民望調查」中，無論用普通的算術平均，抑或用截尾平均，都不會有大分別。原因是一般來說，離群值最有殺傷力的情況，是母體數字本身為「無界」(unbounded) 的時候。是項調查當中，有效的評分本身有界（只可介乎零至一百），離群值的影響通常不會太壞，故此梁粉的批評，抓不到統計學的重點。

實際上，若截去今次樣本當中，高低各一成的數據的話，得出來（未經加權）的截尾平均為 48.1，與樣本平均數 47.4 相去不遠。

尺度不同，分數如何換算？
這倒不是說「特首民望調查」無問題。印象中，港大民研所做的民意調查，大部份（例如立法會選舉的選前調查和 exit polls）都很紮實。然而此項「特首民望調查」，卻非常礙眼。我很想問鍾庭耀一句：

How on earth is this rating meaningful? 

單單叫受訪者為梁振英打個分數，已經很有問題。問卷只提過零分（「絕對唔支持」）、五十分（「一半半」）與一百分（「絕對支持」）的意義，中間的尺度 (scale)，人人卻不同細分。你我各給六十分，意思未必相同。你的分數如何換算成我的，完全木宰羊。現時港大民研的做法，實際上假設了所有人的評分尺度均一。由此引起的模型風險 (model risk)，無法評估。舉個例說，若你看到梁振英的「民望指數」比上月高，你可能以為他真的愈來愈受市民歡迎，但實情可能是他的民望無變，只是今個月的受訪者的評分尺度較寬鬆，對無甚特別感覺的官員，也傾向打一個高分而已。

就算是奧運體操項目，評分有較多稍為客觀的細項憑依（動作要求、難度、時限等等），仍不時惹人爭議，各人對特首表現的評分尺度，又怎可能大致一樣？

不知尺度，何論變化？
好了，就假設香港有一個平均的評分尺度吧。套用經濟語言來說，就當人人都用一個一致「市場評分尺度」好了，但為何我們可以計算平均分？平均數並不一定是有意義的。一半人給零分，另一半給一百分，借用時下流行語來說，是社會撕裂的狀況；所有人都打五十分，卻更似人人認命。兩種情況截然不同，平均分都是五十分，那麼五十分究竟是甚麼意思？

以上例子當然太極端，極端到與雷鼎鳴對堅尼系數的批評如出一轍。假若港大民研只是拿這個平均分來判斷粗略民情的話，上一段的批評是不適用的。問題是，港大民研對待這個平均數時，彷彿其精密數值或它幾個百分點的變化，有甚麼微言大義似的。然而，即使香港有一個「市場評分尺度」，我們仍不知道這個尺度是甚麼樣子。同樣是跌十分，從一百跌至九十分，是否跟六十跌至五十，或十跌至零同樣大鑊？木宰羊。五十分所代表的「一半半」，和「及格」是同樣意思嗎？木宰羊。不及格的話，甚麼分數才算民怨沸騰，很想梁振英辭職？木宰羊。

不知背後的評分尺度的話，再精密的數字都是沒用的。弄得好像很精密，反而令人誤以為該數字很科學，其細微變化很有意義。

離群值真是離群值嗎？
前面說過，以普通的算術平均來估計母體平均數，乃過時做法。諷刺的是：

• 對「特首民望調查」來說，由於整把由零至一百分的量尺中，只有零、五十及一百有清晰意義，所以這三個分數，比其他分數可靠。
• 故此，吊詭地，0 和 100 兩個離群值，反而不應剔除。
• 結果梁粉針對離群值的批評，意外地不適用。
• 若硬要計算平均數，普通的算術平均，此處亦反而比截尾平均更恰當。

然而這不表示港大民研的做法正確。正正因為他們採用了語意不明的尺度，才造成這許多奇怪狀況。

結語一：less is more
如前述，港大民研的民意調查，一般都很紮實，但這項「特首民望調查」，用粵語來說的話，真係「畀位人插」。"Less is more" 這句說話聽來陳套，但此處適用。奉勸 Robert Chung，還是乾脆將問卷問題改成簡簡單單的「你想唔想梁振英繼續執政」之類好了，不要再搞那些懶細緻的評分吧。

結語二：廢話去死，自由萬歲
最後且談文字，不談統計。梁粉謂：

港大民意研究計劃的民調早陣子引起連串質疑，未知是否有見及此，今次港大再度公布特首評分時，民意網站已出現所謂的「原始資料」，雖然相關檔案的格式要以特定軟件才能打開，但內裡所刊載的正正是評分分布數字。

這不是廢話嗎？有甚麼檔案是任何軟件都可以打開的呢？何況所謂「特定軟件」和檔案格式，也不過是統計佬慣用的 SPSS 與它的 sav 格式吧。不想付鈔的朋友，可用免費的自由軟件 R 打開有關檔案。

相關網頁

• The R project for statistical computing
• 2014年3月11日 新聞公報；香港大學民意研究計劃
• 下載原始數據（SPSS 的 sav 格式）：2014年3月11日公布之特首評分
• 民情指數方法說明 (pdf)；香港大學民意研究計劃

伸延閱讀

• 電鋸，你玩統計，統計玩你：「問題根本不在於 0 和 100 等等 outliers ，而是佔人口比重較多的組群對梁振英評分較低。」

Patema Inverted

無論是那處的影、視、動、漫，有新意之作近年都買少見少。網上這一套四集，每集長五、六分鐘的 Patema Inverted: Beginning of the Day，是動畫電影 Patema Inverted 的前奏。看頭兩集時，還不覺得怎樣，以為不過是常見那種「人類劫後重生」故事的風格和設定。直至第三集末段，才驚覺完全不是那一回事。電影去年十一月已於日本上畫，期待有日可於本地放映。

歧視

今日讀報，有這麼一個段落：

來自北京的陸先生與陳先生同遊香港，……他（註：陳先生）又迅即向記者大吐苦水，指來港遭到不公平待遇，曾以普通話向港人問路，不少人卻裝聾扮啞拒絕回答，直至後來，他以英文問路，才有人肯回答。「這分明就是歧視啊，心裏會有壓力，下次來港前會有顧慮。」

我真的不明白，何以大陸人每有不快遭遇，總是認為自己遭歧視？做遊客的，出發前不會稍讀有關目的地的基本資料的嗎？香港的主要語言為粵語和英語，路人不懂普通話，根本是平常事。你遊魁北克，用普通話問路，沒人理睬，後來改以英語問路，總算有人肯回答，難道這又是歧視嗎？

我並非路癡，卻是那種「自己懂得走，但不懂得解釋如何走」的人。就算有人用粵語問路，我都是盡量迴避的，免得點錯路，更何況我的普通話只是「有限公司」？現在每逢有人以普通話問路，我都是回一句 "I don't speak your language" 了事的。至於回答的語氣如何，之前會否加個 "Sorry"，就要視乎對方發問時，有否用「請問」開頭，而我可以非常肯定地說，要加這個 "Sorry" 的場合，不到十分之一。

勿因蟲廢言

張 has a point
恒基地產副主席李家傑，昨日大力批評港大民調的「特首民望調查」，共產黨報章及土共聞聲而動，紛紛幫忙叫罵，霎時將今年「驚蟄」提早了兩日。

這些「小爬蟲」（小爬蟲黃定光語）的評論，大部份都不值一哂，然而「梁粉」張志剛的批評，卻有一點道理。按AM730報道，他說：

 「如果問聽日投票，投梁振英定係唔投梁振英嘅話，你就只可以將個結果解讀為『如果聽日投票，梁振英可以攞到幾多票』，唔可以當作係施政支持度，而且如果講投票選舉嘅話，一定要列明對手。」

香港人根本就不能（或未能） 選舉行政長官，因此以這種「假想得票率」（鍾庭耀語）來估計任何其他數字，都必然有所歪曲。況且，如張志剛所說，就算要估計選舉得票率，也應該指明對手。若將「梁振英對余若薇」換成「梁振英對曾德成」，結果就恐怕有天淵之別。

鍾 knows what he is talking about
鍾庭耀如何擬出現在的問卷？按香港大學民意研究計劃網站的說明：

「港督或特首民望」調查一直沿用的提問方式為「而家想請你用0-100分評價你對港督／特首某某某既支持程度，0分代表絕對唔支持，100分代表絕對支持，50分代表一半半，你會俾幾多分港督／特首某某某呢？」及「假設明天選舉特首，而你又有權投票，你會唔會選某某某做特首？」。

而按鍾庭耀於2003-6-12的解釋：

筆者在12年前引入0至100的評分標準，是經過一番考究和深思。該等基準，在民主社會時有用之，但不算普遍。西方社會慣用百分率顯示政治領袖的「認許率」或「支持率」，提問方法大抵可以分成兩大類： 

(1) 你是否認許某某處理其崗位（如總統、首相等）的工作？ 

(2) 如果明天進行選舉，你會否投票支持某某？ 

一般而論，答案只分正反兩面，再加「不知道」。所謂「正反兩面」，可能是採用二分或四等法。二分法的答案可以是「認許」、「不認許」；「滿意」、「不滿意」；「是」、「否」；「會」、「不會」等；而四等法的答案可以有「很滿意」、「頗滿意」、「頗不滿」、「很不滿」；「肯定會」、「可能會」；「可能不會」、「肯定不會」等。 

西方社會涉及0至100評分調查的對象，大多數不是選舉出來的政治人物，或者只是醞釀參選的人物。提問者通常會要求被訪者想像一個攝氏溫度計，0度表示冰冷，100度表示沸騰，50度表示不冷不熱，然後要求被訪者打分形容其對某人的感覺。顯而易見，這種方法毋須被訪者想像任何選舉處境，或與其他人物比較。 

不過，這種提問方式得出來的數字，往往不能直接轉化成為選民基礎的強弱，對預測選舉結果的作用不大。民主社會習慣以選票較高下，選舉期間如是，民意角力也如是。因此，西方社會的民意指標主要採用二分法來量度領導人的「假想得票率」，或「工作表現認可率」，類溫度計的數字則屬次要。西方社會稱民意調查為「opinion poll」，就蘊藏了民意公決的概念。 

香港的民主進程只屬初階，除了從地區直選出來的立法議員外，用「假設得票」的問題來量度民望，對被訪者而言，似乎沒有太大意義。因此，筆者在12年前便採納了0至100分的標準，作為主流測試方法。不過，時至今日，「問責」觀念高唱入雲，巿民的民主訴求逐漸熾熱，民望指標亦要相應調整。更何況，部份官員已學會偷換概念，把40多分的支持度評分說成是獲得四成多的支持比率，還說這樣的民望可以媲美世界各國。這些言論，或許能淡化巿民的不滿，但是本身有違科學精神，對民意不公，對社會無益。

由此可見，鍾庭耀本人是很清楚其問卷是有甚麼潛在流弊的，他也是經過深思熟慮後，才將問卷設計成現在這個樣子。你可以不同意他的見解（我就不同意），但他足足十年前已公開解釋其問卷設計，而這是可供公開學術辯論的。將他的調查形容為對民意的「操控」（李家傑語），絕不公允。

Approval ratings
話雖如此，我也一向不大滿意鍾的「特首民望調查」（他將支持率與反率對的差額，用一個自創兼懶學術的詞語「民望淨值」來包裝，就更叫人眼冤了）。要採用他口中所謂「二分法」抑或「類溫度計的數字」（0至100分），只屬旁支末節。最根本的問題，是他究竟想量度甚麼？

既然這是一項「特首民望調查」，想量度的，當然是市民有多想行政長官下台了。港大問卷的兩條問題當中，張志剛已指出第二條問題的弊端。至於第一條問題，它用的是甚麼字眼？

「而家想請你用0-100分評價你對港督／特首某某某既支持程度，0分代表絕對唔支持，100分代表絕對支持，50分代表一半半，你會俾幾多分港督／特首某某某呢？」

這個「支持」 是甚麼意思？是滿意的意思？是我會以實際行動幫助他（例如加入「愛字頭」的鋤奸隊，或盡可能在共幹面前替他美言幾句）？還是不管我有多（不）滿意，我都贊成他繼續坐在他的位子上？用語言來表達思想，很難完全精確，但是「支持」這個詞語，意思卻未免太過模糊。

如鍾庭耀所說，有些外國的民意調查，會用上'approve'（鍾庭耀譯作「認許」）這個字眼。例如美國的市場調查一哥蓋洛普，就有每週追蹤調查，問：

Do you approve or disapprove of the way Barack Obama is handling his job as president?

亦有一些調查，用的字眼為「滿意」。例如英國的老字號市場研究公司 Ipsos MORI 的問卷，就會問：

How satisfied or dissatisfied are you with the way David Cameron is running the country /doing his job as Prime Minister?

留意問卷問的並非國民有多滿意首相的政績，而是問他們有幾滿意首相的施政。這兩者差之毫釐，謬以千里。問政績的話，遇著時勢艱難，官員難有作為，政績很差，但國民可能諒解，滿意其施政，認為官員已盡力扭轉乾坤，只是形勢比人強。就好像第二次世界大戰後期的北非戰場，德國的隆美爾元帥頻頻吃敗仗，但不少軍事史家反而對這個階段的他，有很高評價一樣。

我們不想問卷問題太長，但受訪者又未必了解「政績」與「施政」的分別，故此我還是覺得蓋洛普的問法較好。然而直接挪用又有點不妥，皆因 'approve' 一詞，隱含說話者有權干預的意思，但現今體制下，特首並非民選，立法會又有非民選的功能組別，兼投票時有分組點票，要說港人 'approve' 特首施政，真是無從談起。其實要量度官員的民望，我們可以單純了解市民有幾想換人。要避開張志剛所指出的困難（假設明日有選舉，亦要指明對手），我們其實不必扯甚麼「明天有（假）選舉」，只需簡簡單單地將問題更改如下：

你贊唔贊成梁振英繼續施政？

當然，文字還可以斟酌（後記：「你想唔想梁振英繼續執政」或者更佳），但我想說的是，鍾庭耀問卷的毛病，更深層反映的其實是語文問題。

冰滑橋搖 ── 中學物理課本錯誤兩則

我念中學那個年代，各校物理課多採用外國教科書（實際上本地出版的，當時好像只有中大楊綱凱教授所編那本）。這些課本對現實世界的現象，時有錯誤解釋，我也是後來看其他書籍，才發現原來這些解釋是錯的。針對這些錯誤的批評，有一些流傳得比較快和廣，令相關錯誤很快從教科書消失。例如我那個年代的課本，許多都用 Bernoulli's principle 來解釋「用風筒打斜吹向乒乓球，但乒乓球在空中固定不倒」這個實驗 (Youtube)，但後來人們知道這是誤解，正確的解釋應該是 Coandă effect 加上 Magnus effect，而這兩種效應的成因，其實超出了中學物理學的範圍。故此，儘管這個乒乓球實驗很有趣，但根本就不應拿來做課堂例子。（芸芸物理學原則中，Bernoulli's principle 也可能是最常被中學課本濫用的一個，但這是另話。）

然而也有一些錯誤，是流傳至今的。日前上網，發現兩個我念中學時所讀到的物理解釋原來又是錯的時候，心裏依然很驚訝。

為何人們可以溜冰？

Robert Rosenberg, Why is Ice Slippery? Physics Today, December 2005, pp.50-55.

水（及一些其他物質）受壓時，熔點會降低，這個現象稱為 pressure melting。以往課本多以此來解釋何以人們可以溜冰：溜冰的冰刀壓著冰面，令冰塊溶化，潤滑冰面，減低摩擦力。也有一些課本以摩擦生熱 (frictional heating) 來解釋冰面水分。

可惜，根據不同物理學家所做實驗，人們發現 pressure melting 這個解釋完全是錯的 ── 冰刀的壓力的確會降低冰塊的熔點，但憑常人的重量，施加在冰面的壓力，最多只可降低冰塊的熔點三、四度。當冰面接近零度時，以 pressure melting 來解釋冰面滑溜，乍聽還有理，但問題是，實際上冰面容許人們溜冰的溫度，可以低至零下三十五度，此時冰刀的壓力，卻不足以令冰面溶解。

其實物理學界對於冰面為何滑溜到可以溜冰，至今仍未有定論。暫時最令人信服的解釋，並非摩擦生熱，而是一種稱為 premelting 的原理（勿與前述的 pressure melting 混淆），其大意是，結晶體即使低於熔點，結晶面仍可存在準液態薄膜。連學者都仍未了解的事情，其真正的物理解釋當然也超出中學範疇。實際上，單是要證實冰面上有薄薄的水膜（而不論此水膜是否容許溜冰的關鍵），竟然也要出動到核磁共振儀器！

Tacoma Narrows Bridge 塌橋事故

K. Yusuf Billah and Robert H. Scanian, Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks, American Journal of Physics, 59(2):118-124, 1991.

當一個可以振動的系統遇到週期性的外力，而施力頻率接近系統的自然振動頻率時，就會發生大幅振動現象，稱為共振 (resonance)。我那個年代的中學教科書（甚至大學教科書），不少都以共振來說明一些塌橋事故，或者以共振來解釋士兵走過吊橋時，為何不能步操，必須打亂步伐。事實上，過往確曾有大量士兵過橋時，發生塌橋事故，其中傷亡最嚴重的，當數 1850 年法國 Angers 懸索橋斷裂意外。當時有一營士兵正在過橋，儘管他們事先已知道要打亂步伐，但士兵為了在大橋搖幌時平衡身體，反而不自覺地令步伐一致。當大橋從懸索開始斷裂時，有 483 名士兵在橋上，最後有 226 人死亡。

1850 年連攝影都未普及，更遑論攝錄機。中學教科書引述得最多的，並非 Angers 大橋斷裂事故，而是有聲有畫，1940 年末在美國發生的 Tacoma Narrows Bridge 塌橋事故。




這宗極富戲劇性的經典意外中，無人傷亡，唯一死者，是被主人遺留在車上，名為 Tubby 的犬隻。（Tubby 的狗種為 Cocker Spaniel。香港將此狗種譯作「曲架犬」，巧合地與此塌橋事故語帶相關。）好些教科書都將這次意外形容為風與橋的共振，卻無解釋當時風力何以帶週期性。後來有人提出，並不是風力帶週期性，而是風吹過橋體時，造成稱為「Kármán 渦流街」(Kármán vortex street) 的週期現象。

然而有趣的是，且不說這個由渦流引起的震動 (vortex-induced vibration) 技術上算不算共振，原來早已有人驗證過這種震動並不會危害大橋。話說當 Tacoma 峽灣橋通車後不久，人們已發現大橋會隨風上下起伏。由於搖動幅度頗大，有人甚至報稱橋面隆起至看不見前車，而時人將此橋戲稱為 "Galloping Gertie"。親歷其境的過客當中，有一位華盛頓大學教授 Burt Farquharson。他事後利用風洞實驗，證明這種上下搖幌是安全的。而且，出事當日，大橋乃左右扭動至斷裂，搖幌模式與平日不同。

那究竟是甚麼機制導至大橋倒塌？這要到 1991 年，前述普林斯頓大學與約翰霍金斯大學兩位工程學者的論文出版後，才有公認的解答。事件的元凶，是一種稱為 aeroelastic flutter 的現象。大體來說，當風吹過橋體時，會造成一些小旋渦，令橋面扭動。許多時，這種擺動就像鐘擺般，會慢慢停下來（即 "damping"，「阻尼」）。然而，若風速、橋面闊度與扭動的頻率皆符合特定條件的話，橋面扭動時形成的攻角，又會造成更多旋渦，而這些旋渦又令橋面扭動得更厲害，直至大橋斷裂。留意這種現象並非共振（事件中，施加在橋體的外力並無週期性），而是渦流與橋身擺動形成的正反饋 (positive feedback)。



究竟我們在中學（或大學時），還學了幾多錯誤的物理解釋？