讀期刊，小確幸

今日偶爾看到某期刊文章中有這麼一句：

Several proofs of this fact may be found in [18] along with the interesting historical remarks such as that Schrödinger could not find a proof that these eigenvalues are correct.

嘴角馬上牽起來，原因是兩月前有人問了完全相同的問題，但我花了不到廿分鐘就用最基礎的手段解決了。能勝過量子力學大師 Schrödinger （即是「薛丁諤的貓」那位薛丁諤），難免沾沾自喜。

自吹自擂就到此為止了。有關的問題其實並不太難，只是有時聰明人束手無策，而平凡人靈機一觸，答案卻自己跑出來。學術也是講運氣的。

流水帳

近一兩年，切身感受到人到中年，身體比年輕時差這個事實。剛剛只是飲了一罐 500ml 的喜力，竟然已經頭重重，不禁啞然。以前讀大學，宿舍開派對時，我們是甚至會叫生力送一部啤酒機來，讓大家狂飲的。真係今時唔同往日。

午間逛書店，翻了幾部小說，驀然想到，讀繙譯歐美小說時，不知為何總是有種「繙譯感」揮之不去，就好像每字每句都提醒你，「這是繙譯小說」似的。相比之下，讀繙譯日本小說，很少有這種隔閡。也就是說，繙譯的日本小說，往往比歐美小說譯得自然。照道理，雖說日文也用漢字，但語法終究還是跟中文有許多差異，故此繙譯歐美小說那種生硬的感覺，應該出自其他原因，不過我等粗人，也說不出是甚麼就是了。

剛剛寫「隔閡」，執筆忘字，要查辭典方找到「閡」的正字，其間意外發現，粵語常用語「隔涉」原來也是古語。辭典謂，「隔涉」一語可見於元末高明所撰南戲《琵琶記．拐兒脫騙》：「你傳示俺八旬爹媽，道與我兩月妻房，隔涉萬水千山。」

上週馬傑偉於《明報》撰文說「Quota 用盡了」，我也有同感，不過理由有點不同。馬說「對於時事，無端起了厭惡之情。近月更有強烈的逃避情緒。不要煩我！就是想置身事外。努力學習」，我倒沒有這種感覺。我厭惡那些壟斷權力還要指摘庶民獨裁的權貴，但罵不出來，或寫不出半個字，卻是由於感到自身不夠識見，寫不出有用的東西。反而馬傑偉說「畫家不想作畫了，詩人不想寫詩了」，那種 quota 突然耗盡的情況，我卻百分百感同身受。

Fundamentals of Modern Statistical Methods

Rand R. Wilcox, Fundamentals of Modern Statistical Methods: Substantially Improving Power and Accuracy, 2/e, Springer Science, New York, 2010.

前文提過，屏山公共圖書館號稱全港第二大，學術書籍卻少得可憐，不過它架上也有一些有趣的學術書。這本 Rand R. Wilcox 的統計學著作，就非常值得一讀。

此書對象為需要使用統計學的一般人，主旨乃解釋傳統統計方法的流弊，及現代方法的要點。全書 249 頁，分十二章，主要是文字闡述，並輔以公式，完全沒有 theorems and proofs。它雖未至於像霍金 (Stephen Hawking) 的 A Brief History of Time 般，只得一條公式，但也相當易讀。我上週花了四日，每日約兩句鐘就已經讀完全書。

作者認為，傳統統計方法太依賴中央極限定理 (Central Limit Theorem) 、常態分佈 (normal distribution) 與等散 (homoscedasticity) 等等的定理或假設。現實中的概率事件，卻鮮有符合所需條件。近年的研究顯示，只要現實情況稍許偏離理想條件，統計結果往往會變得非常不準確。換句話說，傳統的統計方法不夠穩陣 (robust)。

舉例說，書中有一個經常強調的概念，稱為「有限樣本障點」(finite sample breakdown point)。假設我們有五個樣本

1, 9, 10, 11, 20,

並希望從中估計母體平均數 (population mean)。一般教科書都以樣本平均 (sample mean) 作估計，也就是 (1+9+10+11+20)/5 = 10.2。問題是，只要有一個極端樣本，所得的平均數就會面目全非。譬如上例中，若把 20 換成 30，樣本平均數就變成 12.2，比原先高出足足兩成。原則上，若樣本數為 n，只要改變其中一個樣本數值，亦即 1/n 的樣本，就足以任意改變樣本平均數，於是我們稱樣本平均數的有限樣本障點為 1/n。

相比之下，若我們以中位數 (median) 來估計母體平均數，無論最大或最小的樣本的數值變得如何極端（例如將上例的 20 換成 200），也不會對結果有絲毫影響。事實上，（在不影響大小順序的情況下）要改變中位數，起碼要改變一半樣本的數值，故此中位數的有限樣本障點為 1/2。這是理論上限。因此，理論上中位數最穩陣，最不受極端事件影響。

然而穩陣又未必準確。譬如一般的大學甚至中學教科書，都指出中位數並非母體平均數的無偏倚估計 (unbiased estimate)。在離散分佈 (discrete distribution) 之下，樣本容易出現大量重複數值 (tied values)，這對中位數的應用，亦造成一些因難（詳情此處不贅）。概念上，使用中位數亦等於棄掉餘下 n-1 個樣本的大部份資訊，一般人未必個個都接受。

有無既穩陣又準確的統計方法？作者於書中經常強調，基本上並無任何情況下都最佳的統計方法。然而，從 1960 年以降，在某些範疇，統計學界已發展出一些在大部份情況下都不錯，而餘下情況則至少比傳統方法好的統計方法。以上面提到的問題為例，要估計母體平均，其實有一個簡單的好方法，就是用截尾平均 (trimmed mean)：取一個比例 p，令 m = floor(np)，截去樣本中最大和最小的 m 個樣本，再計算餘下 n-2m 個樣本的平均數，並以此作母體平均的估計。這其實就是一些奧運項目的評分方法。

讀者也許覺得，統計學家重新發現民間本來已懂得的方法，並沒甚麼了不起，可是若你有 n 個樣本，究竟要截去幾多才好？留意，樣本平均與中位數，其實都是截尾平均的特例（前者截去 0 個樣本，後者只留中間一個或兩個樣本），因此，它們的表現已經說明，若隨意揀 p 的話，未必會有好結果。此外，截尾平均再佳，也只是一個實際上不會完全正確的單點估計 (point estimate)。要更清楚地敘述統計結果的話，我們就要計算一個信賴區間 (confidence interval)。要解決這些問題，就要統計學家出場了。

本書分為兩部份。首部份有七章，深入淺出地解釋一些基本統計概念，介紹一些常見的統計問題，指出傳統方法的流弊，並簡單地解釋一些將用於第二部份的技巧（例如何謂 bootstrap method）。第二部份有五章。前四章，每章針對一類統計問題，並介紹現代的解決方法（我尤其喜歡第十一章 Robust Regression）。最尾一章則簡介其他新興，但表現未有定論的統計方法，以及如何利用統計軟件（主要是 R）幫忙。本書第二版於 2010 年印行，但內裏提及的研究論文，最晚的去到 2009 年，可見作者相當留意最新的研究成果。

要說本書有甚麼缺點的話，其優點就是缺點了：本書始終都只是非技術性的簡介，讀者要更清楚認識或真正掌握有關統計方法的話，還是要找期刊或專著來看。這實在有些諷刺：我認為本書的內容，是絕對值得要時常做統計，但本身又不是統計學人的讀者看的，然而，由於它並非專著，兼有時效（既說是現代統計方法，再過十年，就不知會否過時了），因此絕對不值得購買。（真是對不起作者啦！）

作者在書中時不時推銷他的另一本著作。看來，要「有餡」的話，就要找此書來讀了：

Rand R. Wilcox, Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing, 2/e, Academic Press, San Diego, 2005.

置換遊戲

（本網誌正進行「人生目標調查」。有興趣的網友可填寫位於網誌右邊 sidebar 的問卷。）

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近日自閉指數颷升，我要到昨日才知道教育學院搞了一個民意調查，結果謂「約有一半的香港市民認為維持社會秩序比民主重要」。一方面，以香港人的保守，就算這個結果真確，也毫不出奇；另一方面，教育的調查方法亦未必無可議之處。我覺得，讀者最好還是自己看一下詳情（新聞稿、簡報），才自行判斷結果是否可信，不要因結果不中聽而廢言。若有機會的話，我也會看看是否還有話可說，不過現在先玩一個置換遊戲。

是項調查的其中一條問題如下：

社會上，每個人唔係經常都可以得到想要既野。以下有四個目標，如果你要係
佢地當中揀，邊一個你最想要同第二想要呢？
[訪員讀出 1-4 項，次序由電腦隨機排列]

1. 維持社會秩序 (社會秩序)
2. 係重大政治議題上俾市民更多發言權 (民主)
3. 對抗物價上升 (民生)
4. 捍衛言論自由 (言論自由)

其中一個調查結果，是有 53.7% 受訪者認為「社會秩序」重於「民主」。

好了，現在且讓我們置換一些選項：

社會上，每個人唔係經常都可以得到想要既野。以下有四個目標，如果你要係
佢地當中揀，邊一個你最想要同第二想要呢？
[訪員讀出 1-4 項，次序由電腦隨機排列]

1. 維持社會秩序 (社會秩序)
2. 參選行政長官，須由提名委員會先行篩選出「愛國愛港」者 (特首選舉有預選)
3. 對抗物價上升 (民生)
4. 經濟上與內地進一步融合 (中港融合)

我敢打包票，以 1, 3 兩項優先的人，必定遠多於選其餘兩項者。要是教院真的問這樣的問題，你猜《文匯報》又會否說「近半市民指社會秩序重於特首愛國愛港」，或者「近半市民指社會秩序重於中港融合」？尤甚者，若將第二或第四項改為「繼續讓中國統治香港」，又會不會有「近半市民指改善民生，比由中國統治香港更重要」這樣的結果？它又有無微言大義？

結論是甚麼？我還未有時間細看，因此沒有結論。曾有人問主事人周基利教授何以將四個選項對立起來，主事人答曰，這是因為提倡「佔領中環」者，是以犧牲社會秩序為代價，換取民主自由云云（這是大意，我找不回原來的連結，有連結者煩請告之）。I think he has a point. 我不會急於說教院的調查方法有問題，讀者也不必即刻認為周教授是為了媚共才搞這個民意調查。當然，我也不會說周教授的調查毫無問題（至少將「民主」詮釋為「喺重大政治議題上畀市民更多發言權」，就未免過於局限），更不會對周教授的動機毫不懷疑。事實上，他的新聞稿與調查簡報都非常可疑。以下是新聞稿內一個列表：

讀者有無發現異常？明明問題有四個選項，何以新聞稿只比較三個選項的輕重？調查簡報也是同樣情況。

其實周教授是否為了避免生果報有類似「七成港人認為改善民生，比維持社會秩序重要」這樣的頭條出現，而略去有關結果？

就算反過來，有七成人認為「維持社會秩序」比「對抗物價上升」重要，難道我們可以將此詮釋為「七成港人認為維持社會秩序，可以不計較物價上升」嗎？假若不可以的話，就算有近半港人認為維持社會秩序比民主重要，難道我們又可以不要民主？

教院的調查簡報並無比較「維持社會秩序」與「對抗物價上升」的輕重，但這其實是可以從簡報結果推導出來的。詳情不贅了，只說結果：比較兩者，有 41% 受訪者認為「維持社會秩序」比「對抗物價上升」重要，但亦有 36.6% 受訪者反過來認為「對抗物價上升」重於「維持社會秩序」。整體來說，隨意揀兩個選項 A, B，認為「A 比 B 重要」的受訪者，都是介乎三成幾至五成之間，當中縱有差異，也不算極端。究竟周教授是否想強調受訪者偏向看重「維持社會秩序」這個結果，而避談「對抗物價上升」這個選項，以免減低戲劇性，就不得而知。然而，若調查員提及問卷第三選項的時候，字面上所說的是「於重大政治議題上給市民更多發言權」，調查分析卻將此詮釋成「民主」的話，就有偷換概念之嫌。

可是我也必須為周教授說句公道話。他的新聞稿與調查簡報，根本都沒有將「受訪者重視社會秩序多於民主」當成重點，其新聞稿亦明確表示「認為社會秩序比言論自由重要的受訪者百分比(45.6%)，其實在統計上是和認為言論自由比社會秩序重要的受訪者百分比(41.0%)是沒有分別的」。縱使看重社會秩序的受訪者的確最多，但數字並非那麼一面倒。可惜報章普遍都將調查結果說成港人彷彿寧要社會秩序，而不要民主一樣。