2012 Peking University grad school entrance exam (Higher Algebra)

From math.SE:

1) Let $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$ be all the roots of a polynomial $g(x)$ (defined over the complex field) with rational coefficients. Suppose $f(x)$ is an arbitrary polynomial with rational coefficients. Is $\prod_{i=1}^n f(\xi_i)$ necessarily a rational number? Prove your assertion.

2) Show that the following determinant is nonzero:

$$
\left|\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & \ldots & \ldots & \ldots & 2010 & 2011\\
2^2 & 3^2 & 4^2 & \ldots & \ldots & \ldots & 2011^2 & \color{red}{2012^2}\\
3^3 & 4^3 & 5^3 & \ldots & \ldots & \ldots & \color{red}{2012^3} & 2012^3\\
\vdots\\(k-1)^{k-1} & k^{k-1} & (k+1)^{k-1} & \ldots & 2011^{k-1} & \color{red}{2012^{k-1}} & \ldots & 2012^{k-1}\\
k^k & (k+1)^k & (k+2)^k & \ldots & \color{red}{2012^k} & 2012^k & \ldots & 2012^k\\
\vdots\\
2010^{2010} & 2011^{2010} & \color{red}{2012^{2010}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 2012^{2010}\\
2011^{2011} & \color{red}{2012^{2011}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 2012^{2011}\\
\end{matrix} \right|.
$$

3) An order $n$ matrix $A$ has exactly one nonzero entry on each row and each column, whose value is either $1$ or $-1$. Show that $A^k=I$ for some positive integer $k$.

4) Define the "product" of two $n\times n$ matrices $A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$ as

$$
A\circ B = \left(\begin{matrix}
a_{11}b_{11} & a_{12}b_{12} & \ldots & a_{1n}b_{1n}\\
a_{21}b_{21} & a_{22}b_{22} & \ldots & a_{2n}b_{2n}\\
\vdots\\a_{n1}b_{n1} & a_{n2}b_{n2} & \ldots & a_{nn}b_{nn}
\end{matrix}\right).
$$
If $A$ and $B$ are positive definite, show that $\mathrm{rank}\,A\circ B\le(\mathrm{rank}\,A)(\mathrm{rank}\,B)$.

5) Suppose $f_1,f_2,\ldots,f_{2012}$ are 2012 different linear transformations on a vector space $V$. Does there exist a vector $\alpha\in V$ such that $f_1(\alpha),f_2(\alpha),\ldots,f_{2012}(\alpha)$ are mutually different? Prove your assertion.

6) Suppose $A$ and $B$ are positive definite matrices of order $n$. Prove that they can be simultaneously congruence-diagonalized by some invertible matrix $T$.

7) Let $f(\alpha,\beta)=g_1(\alpha)g_2(\beta)$ be a symmetric bilinear form on a Euclidean vector space $V$ over a field $P$. Show that there exist some linear function $h(x)$ and some $k\in P$ such that $f(\alpha,\beta)=kh(\alpha)h(\beta)$.

8) For any $n$-dimensional Euclidean vector space $V$, show that there are at most $n+1$ vectors such that the angle between any two of them is obtuse.

11) Given that the following linear transormation is a rotation in $\mathbb{R}^3$. Find the rotation axis and the angle of rotation.
$$
\left(\begin{matrix}x'\\ y'\\ z'\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}
\frac{11}{15}&\frac{ 4}{15}&\frac{ 2}{ 3}\\
\frac{ 4}{15}&\frac{13}{15}&-\frac{1}{ 3}\\
-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{ 3}.
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}x\\ y\\ z\end{matrix}\right)
$$

藍皮書

陶傑，拿美國人的錢，黃金冒險號（專欄），香港：蘋果日報，2012-11-12。

香港兩家大學爆發罵戰。原來浸會大學的「中國研究中心」，發表「藍皮書」，指中文大學的通識課程，接受美國資助，向學生灌輸美國的普世價值觀。然後中大指對方誹謗。
這一大段新聞，問題多了，一件件拆。

首先，「藍皮書」是香港七十年代一本暢銷的色情雜誌，廣受文化教育低下人士歡迎。浸大的一些大陸學者，可能太過崇洋，看見美國人有「白皮書」，英國人有「綠皮書」，你叫「紅皮書」、「黃皮書」，都切合本色和身份，沒有問題，或一時貪漂亮，選了藍皮，就有了笑話。

專欄作家每天供稿，寫得多自然錯得多。雷公教授如是，陶才子亦如是。

《藍皮書》確實是香港於七、八十年代除了《龍虎豹》以外的另一本暢銷色情雜誌，但「藍皮書」一詞卻非當時新創。根據羅馬大學東方研究所馬西尼 (Federico Masini) 教授所著的《現代漢語詞彙的形成》(p.91)，二十世紀初期，中文已有「藍皮書」這個借詞，意思指「政府年鑒」。

陶傑眼見英語有「白皮書」(white paper) 與「綠皮書」(green paper)，似乎亦想當然地認為「藍皮書」是 "blue paper"，可是「藍皮書」一詞，其實是 "blue book" 的繙譯。網上不難找到一個世紀以前的 blue books（例一、例二），它們一般都是政府或民間機構的曆書或統計年鑒，以藍色作封面。

此外，現在也有外國的研究報告以 "blue paper" 作名稱（例子），因此浸會大學亦非自創新例，不過此 "blue paper" 究竟何所指，我就不清楚了。

後記：浸大有關刊物的正式題目其實是 Blue Book of Hong Kong: Annual Report on Development of Hong Kong，含義與傳統「藍皮書」無異。姑勿論內容，該刊物以「藍皮書」命名並無問題。

死雞撐飯蓋的雷鼎鳴

我懷疑雷鼎鳴教授非常愛面子。他八月份寫了篇《偏頗的傳媒》，被人（包括在下）笑到面黃。大概他自知戇居，不敢即時反駁，反而鬼鬼祟祟地在兩個月後，才於另一篇文章結尾自辯，卻始終解釋不到，要用物理方程式才推算得出的，何以能稱為普通人的「常識」，更迴避了「可視（物體大小並未超越肉眼的光學分辨率）與可見（腦部能辨認所視物體）是兩回事」這個問題。當日天宮一號上的太空人有否「看見」香港，依然存疑。

也許雷教授認為他的自辯很有力，因而自我感覺良好，勇於點起新火頭吧。他於自辯翌日，竟然又寫一篇奇文，謂「中共化繁為簡 迅速掃『盲』」，而「把簡體字為殘體字，其用意只是要為『去中國化』的服務」（文法錯誤為雷教授原有）。

推行簡體字可以減少文盲一說，我三年前已經說過，必須區分究竟「普及教育」抑或「用簡體字」才是主因。這應該是很簡單的道理，不明白喜歡高舉「常識」及「方法學」的雷教授何以不明白。教授的奇文見報後，亦有其他人士（例一、例二）從學理反駁他粗疏的結論。詎料雷教授竟然完全放棄學術討論，反而特意寫一篇文章指摘別人（大概指陳雲陶傑）「對號入座」，扯一大堆公孫龍、令狐沖甚麼的，避重就輕，到昨日又再撰文，題為《農村發展與掃盲》。且聽他如何說：

簡體字有貢獻
1950年中國的小學入學率（要注意只是入學）是27％，老師也嚴重不足，而且又有多少人肯到農村當老師？在資源如此缺乏的條件下，使用易學得多的簡體字顯然有助掃盲。到1980年，小學入學率已升至90％。今天內地人民的文盲率已降至不足8％，與90年代後期的香港相若！

究竟他想說的是以下何者？

(a) 學簡體字能提高小學入學率以及識字率。
(b) 提高小學入學率之後，學簡體字的人也多了，而文盲率亦降至不足 8%。

讀者看得出雷教授的邏輯嗎？老實說，我看不出。身為經濟學者，連短短幾句說話也講得不清不楚，真不知他的教授位置是如何混回來的。無論如何：

• 大陸文盲率下降，主因可能是教育制度改善了。
• 大陸文盲率下降，也可能是大陸文盲（特別是老一輩）死得早而造成的錯覺。
• 識字率的基本定義，儘管各地相同，但何謂「能讀寫文字」，細節仍可能有別，因此統計數字不能完全直接比較。
• 對一般人來說，曉得常用字已經足夠一般讀寫之用，而常用字的簡體與傳統漢字的差距，似乎不是那麼大。
• 若大陸文盲率低，簡體字就叫做有貢獻的話，台灣的文盲率更低 (2%)，豈不是說傳統漢字更有貢獻？如果雷教授的意思純粹是「簡體字有貢獻」而不是「簡體字比傳統漢字有貢獻」的話，則更加是廢話。文字是傳意的工具。任何文字，只要有此功能（姑勿論此功能夠不夠強），都是「有貢獻」的。

雷鼎鳴邏輯粗疏，死雞撐飯蓋，還要深深不忿，撐足三篇，真是叫人眼冤。奉勸他談回老本行。他談退休保障，我覺得是值得聽的。至於其他話題，還望他有些自知之明吧。

無災就無防

讀別人網誌，談近日吹襲美國東北的颱風 "Sandy"， 看到作者說「無災也就無防」，覺得這句話很有意思。的確，乍看今次新聞，香港人還可能以為這個颱風是前所未見的超級風暴，但資料顯示，Sandy 的最高一分鐘平均風速為 175 km/h，比起今年七月吹襲香港的韋森特（Vincente，最高一分鐘平均風速 220 km/h，最高掛十號風球）與去年九月吹襲香港的納沙（Nesat，最高一分鐘平均風速 215 km/h，最高掛八號風球），驟眼看來並不特殊。當然，視乎地勢及其他因素，今次美國沿岸感受到的實際風力，與香港所感受上述兩個颱風的風力或有出入，不過我還是相信作者所說，是次風災之所以嚴重，純粹是受災一帶少見這種程度的颶風，因此從無防範而已。

今年七月廿一日的北京雨災亦一樣。根據紀錄，當日北京全市平均降雨量為 164 毫米，城區平均降雨量 212 毫米。如此日雨量，對香港而言屬大雨，卻也是久不久遇到，絕非罕見，更連十大單日降雨量（第十位為 323 毫米，第一位為 1926 年 7 月 19 日的 534.1 毫米）的邊都沾不上。四年前的六月七日，香港也錄得 307.1 毫米日雨量，其間更錄得有史以來最高的一小時雨量（145.5 毫米），但當日除了有兩人因山泥傾瀉罹難，並無人淹死。無他，香港慣見大雨，儘管山泥傾瀉因斜坡多而難根絕，但渠務日益改善（拆除木屋區也是重要原因），住宅區或公路上有人淹死的事故，已經絕少發生。

雖然北京市政府有許多值得詬病之處 ── 例如一度於網上瘋傳的「假坑渠」醜聞^[*]，北京各行車天橋（當地稱「公交橋」）的設計，以至政府隱瞞死亡人數等等 ── 其排水系統的設計標準也低得驚人（即使依足標準建造，也只是足以應付三年一遇的雨量，香港的主幹渠道則針對二百年一遇的雨量），然而七月廿一日的雨量在當地實屬罕見，就算北京市政府下定決心改善基建，要去到能應付如此雨災的地步，恐怕並非十幾年間即可辦到。

[*] 後記：得方潤老師指正，當時的「假坑渠」照片乃網民以其他地區的醜聞嫁禍北京的。檢索互聯網，原本的「假坑渠」醜聞似乎發生於四川南充市。

伸延閱讀：歷年天災的回顧，香港天文台