聖誕老人

電視正播放聖誕老人的新聞。

祖母：「吖，點解我做女嗰陣無『聖誕老人』嘅呢？」

我：現代的聖誕老人其實是可口可樂公司於上世紀三十年代將聖尼古拉斯的傳說改變成可以販賣的商業形象，經廣告及影視行業發揚光大，令人以為聖誕老人的故事自古流傳，再由芬蘭人興建聖誕老人村，將傳說實體化，實際上你做女嗰陣，「聖誕老人」尚未被發明 ……

（以上是以夜神月模式於腦中思考，合共花費了 0.05 秒。）
 （之後用了額外 0.02 秒將上述資料轉為口頭答案：）

「哦，咁係因為你做女嗰陣，聖誕老人重好後生，未係老人，所以咪無聖誕老人囉！」

祝各位聖誕快樂，新年進步！

舊文：雜談聖誕

2012 Peking University grad school entrance exam (Higher Algebra)

From math.SE:

1) Let $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$ be all the roots of a polynomial $g(x)$ (defined over the complex field) with rational coefficients. Suppose $f(x)$ is an arbitrary polynomial with rational coefficients. Is $\prod_{i=1}^n f(\xi_i)$ necessarily a rational number? Prove your assertion.

2) Show that the following determinant is nonzero:

$$
\left|\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & \ldots & \ldots & \ldots & 2010 & 2011\\
2^2 & 3^2 & 4^2 & \ldots & \ldots & \ldots & 2011^2 & \color{red}{2012^2}\\
3^3 & 4^3 & 5^3 & \ldots & \ldots & \ldots & \color{red}{2012^3} & 2012^3\\
\vdots\\(k-1)^{k-1} & k^{k-1} & (k+1)^{k-1} & \ldots & 2011^{k-1} & \color{red}{2012^{k-1}} & \ldots & 2012^{k-1}\\
k^k & (k+1)^k & (k+2)^k & \ldots & \color{red}{2012^k} & 2012^k & \ldots & 2012^k\\
\vdots\\
2010^{2010} & 2011^{2010} & \color{red}{2012^{2010}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 2012^{2010}\\
2011^{2011} & \color{red}{2012^{2011}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 2012^{2011}\\
\end{matrix} \right|.
$$

3) An order $n$ matrix $A$ has exactly one nonzero entry on each row and each column, whose value is either $1$ or $-1$. Show that $A^k=I$ for some positive integer $k$.

4) Define the "product" of two $n\times n$ matrices $A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$ as

$$
A\circ B = \left(\begin{matrix}
a_{11}b_{11} & a_{12}b_{12} & \ldots & a_{1n}b_{1n}\\
a_{21}b_{21} & a_{22}b_{22} & \ldots & a_{2n}b_{2n}\\
\vdots\\a_{n1}b_{n1} & a_{n2}b_{n2} & \ldots & a_{nn}b_{nn}
\end{matrix}\right).
$$
If $A$ and $B$ are positive definite, show that $\mathrm{rank}\,A\circ B\le(\mathrm{rank}\,A)(\mathrm{rank}\,B)$.

5) Suppose $f_1,f_2,\ldots,f_{2012}$ are 2012 different linear transformations on a vector space $V$. Does there exist a vector $\alpha\in V$ such that $f_1(\alpha),f_2(\alpha),\ldots,f_{2012}(\alpha)$ are mutually different? Prove your assertion.

6) Suppose $A$ and $B$ are positive definite matrices of order $n$. Prove that they can be simultaneously congruence-diagonalized by some invertible matrix $T$.

7) Let $f(\alpha,\beta)=g_1(\alpha)g_2(\beta)$ be a symmetric bilinear form on a Euclidean vector space $V$ over a field $P$. Show that there exist some linear function $h(x)$ and some $k\in P$ such that $f(\alpha,\beta)=kh(\alpha)h(\beta)$.

8) For any $n$-dimensional Euclidean vector space $V$, show that there are at most $n+1$ vectors such that the angle between any two of them is obtuse.

11) Given that the following linear transormation is a rotation in $\mathbb{R}^3$. Find the rotation axis and the angle of rotation.
$$
\left(\begin{matrix}x'\\ y'\\ z'\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}
\frac{11}{15}&\frac{ 4}{15}&\frac{ 2}{ 3}\\
\frac{ 4}{15}&\frac{13}{15}&-\frac{1}{ 3}\\
-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{ 3}.
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}x\\ y\\ z\end{matrix}\right)
$$

藍皮書

陶傑，拿美國人的錢，黃金冒險號（專欄），香港：蘋果日報，2012-11-12。

香港兩家大學爆發罵戰。原來浸會大學的「中國研究中心」，發表「藍皮書」，指中文大學的通識課程，接受美國資助，向學生灌輸美國的普世價值觀。然後中大指對方誹謗。
這一大段新聞，問題多了，一件件拆。

首先，「藍皮書」是香港七十年代一本暢銷的色情雜誌，廣受文化教育低下人士歡迎。浸大的一些大陸學者，可能太過崇洋，看見美國人有「白皮書」，英國人有「綠皮書」，你叫「紅皮書」、「黃皮書」，都切合本色和身份，沒有問題，或一時貪漂亮，選了藍皮，就有了笑話。

專欄作家每天供稿，寫得多自然錯得多。雷公教授如是，陶才子亦如是。

《藍皮書》確實是香港於七、八十年代除了《龍虎豹》以外的另一本暢銷色情雜誌，但「藍皮書」一詞卻非當時新創。根據羅馬大學東方研究所馬西尼 (Federico Masini) 教授所著的《現代漢語詞彙的形成》(p.91)，二十世紀初期，中文已有「藍皮書」這個借詞，意思指「政府年鑒」。

陶傑眼見英語有「白皮書」(white paper) 與「綠皮書」(green paper)，似乎亦想當然地認為「藍皮書」是 "blue paper"，可是「藍皮書」一詞，其實是 "blue book" 的繙譯。網上不難找到一個世紀以前的 blue books（例一、例二），它們一般都是政府或民間機構的曆書或統計年鑒，以藍色作封面。

此外，現在也有外國的研究報告以 "blue paper" 作名稱（例子），因此浸會大學亦非自創新例，不過此 "blue paper" 究竟何所指，我就不清楚了。

後記：浸大有關刊物的正式題目其實是 Blue Book of Hong Kong: Annual Report on Development of Hong Kong，含義與傳統「藍皮書」無異。姑勿論內容，該刊物以「藍皮書」命名並無問題。