謎樣的 2.5 ppm

與內文無關的前言：近日電視及報章談金融海嘯，均把 credit default swap (CDS) 譯作「信用違約掉期」，這是誤譯。把衍生工具中的 swap 譯作「掉期」的先例，有 interest rate swap （利率掉期）。其實大部份的 interest rate swaps 都只是用浮息換定息，交易雙方支收息差的年期一樣，根本便不是掉期。至於 CDS，賣方實際上收取金錢為買方提供第三者違約的保險，所以也沒有甚麼掉期。嚴格來說，CDS 應譯作「信用保險」。若要把 swap 提供一個 generic 的譯名的話，可說「掉險」（掉換交易雙方的風險）。如此 CDS 就是「失信掉險」，interest rate swap 就是「利率掉險」。

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本來打鐵要趁熱，不過在下上星期要專心養病，無心寫作，所以現在才談 2.5 ppm 這個題目。

個多星期前，周一嶽局長被鄭大班質問何以美國的狗食品不容許含有任何三聚氰胺，但港府卻容許食品的三聚氰胺含量達 2.5 ppm。鄭質疑就算每件食品的三聚氰胺含量都合乎標準，但多吃的話這些化學品還是會在體內累積的。

2.5 ppm 的數字何來，是個複雜問題，傳媒的訊息也非常混亂。

首先，根據周局長在電視節目中的解釋，香港的 2.5 ppm 標準其實是參考了美國食品及藥物管理局 (FDA) 的研究而作出的。FDA 雖然沒有就三聚氰胺含量定出安全標準，但它卻有把三聚氰胺的每日可容忍攝入量 (tolerable daily intake, TDI) 評估為 2.5 ppm。巧合地，幾個國家/地區都以 2.5 ppm 作為某些政策準則：

• 美國 — TDI = 2.5 ppm，但沒有安全標準；只要食品被驗出含三聚氰胺，政府隨時可提出檢控；
  
• 歐盟 — 凡是來自中國，含多於 15% 牛奶成份而三聚氰胺含量高過 2.5 ppm 的食品都要銷毀，此外，不管三聚氰胺含量為何，所有中國牛奶均被禁止入口；
• 香港及紐西蘭 — 嬰兒奶粉以 1 ppm 為安全標準，其他食品以 2.5 ppm 為標準；
• 台灣 — 參考香港的做法，以 2.5 ppm 為安全標準。

ppm 是 parts per million 的簡稱，意即「百萬分之 ……」，是科學用語。1 ppm 的三聚氰胺指百萬分之一，也就是每千克的食品或飲品含一毫克的三聚氰胺。上述的 2.5 ppm 數字何來？我不清楚歐盟或紐西蘭的情況，不過台灣是參考香港的，而香港則參考美國，所以這裏我會解釋一下美國的數字。要瞭解美國人為何把三聚氰胺的 TDI 評為 2.5 ppm，要瞭解四件事：

1) 首先，從動物實驗會得到一個三聚氰胺及其類似物（如三聚氰酸等）的「沒有可觀察壞影響下的水平」(no-observed-adverse-effect-levels, NOAELs)。
2) NOAEL 的單位是 mg/kg bw/d，亦即平均每天 (day) 及每千克的體重 (kg body weight) 最多能攝取幾多毫克 (mg) 的三聚氰胺而沒有問題。
3) 把 NOAEL 乘上幾個安全系數，便轉化為給人類的 TDI。
4) 這個 TDI 數字會再根據某些假設而被轉化為以食物重量（而非體重）計算的 ppm 或 mg/kg 作單位。

1) 動物實驗
根據 2007 年 5 月 FDA 的《三聚氰胺及類似物臨時安全/風險評估》，FDA 參考了幾個實驗，發現給老鼠口服三聚氰胺及其類似物（如三聚氰酸等）達以下份量時會出事：

• 63 mg/kg bw/d (for 13 weeks)
• 1600 mg/kg bw/d (for 13 weeks)
• 240 mg/kg bw/d (for 28 days)
• 417 mg/kg bw/d (for 14 days)
• 263 mg/kg bw/d (for 2 years)
• 400 mg/kg bw/d (maternal)
• 1060 mg/kg bw/d (fetal)
  

此外也有一個狗實驗，發現 1200 mg/kg bw/d (for 1 year) 的份量會出事。這些動物實驗的所謂「出事」包括體重減輕、尿液有結晶、腎臟結晶（所謂結晶比腎石為小）、膀胱結石、膀胱患腫瘤以及存活率降低等等，不過倒沒有腎結石或腎衰竭的情況出現。

2) 定立 NOAEL
由上述動物實驗，把沒有可觀察壞影響下的水平定為 63 mg/kg bw/d。

3) 把 NOAEL 轉化為 TDI
把 NOAEL 乘上安全系數 0.1，便得出給老鼠的 TDI；把結果再乘 0.1，便得出給其他物種的 TDI。要留意這兩個 0.1 一個單純是給同物種的安全系數，而另一個則是給跨物種的安全系數，FDA 這份臨時評估並沒有把三聚氰胺遇上三聚氰酸會形成結石這個因素納入安全系數之中。後來 FDA 在 2008 年 10 月的另一份臨時評估裏，為這個因素添上第三個 0.1，因此最後得出給人類的 TDI 為 63 × 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.063 mg/kg bw （這裏不寫 /d 或 per day，是因為 TDI 的 "D" 已說明是 daily）。香港的食物安全中心的網頁，說給人類的 TDI 為 0.63 mg/kg bw，不知是誤植還是真的忽略了化學物互相起作用這個因素。

（附帶一提，歐盟的安全系數也只有兩個 0.1，她把 TDI 定為 0.5 mg/kg bw。）

4) 單位轉換
最後，FDA 假設一個典型的成年人體重為 60 千克，而他/她每日的飲食會有 1.5 kg 的飲品和 1.5 kg 的食物（合共 3 kg）。FDA 設想最壞的情況為有一半的飲食 (1.5 kg) 遭三聚氰胺污染，因此，只要受污染的飲食的三聚氰胺攝取量低於 0.063 × 60/1.5 = 2.52 mg/kg = 2.52 ppm，便算可以接受，四捨五入，便得出 2.5 ppm 這個數字。

2.5 ppm 是給成年人的數字。嬰兒的體重不同，飲食份量也不同，假設一個典型的嬰兒體重為 5 千克，而他/她每日的飲 750 ml 的奶，那麼 TDI 應為 0.063 × 5/0.75 = 0.42 ppm。這是已沖水的牛奶的三聚氰胺 TDI，若我們假設食水沒被三聚氰胺污染，而一匙羹的奶粉會被稀釋成七倍的話，奶粉本身的三聚氰胺 TDI 便是 0.42 × 7 = 2.94 ppm（根據世界衛生組織所述，三鹿奶粉的三聚氰胺含量達 2500 ppm）。港府把嬰兒配方的三聚氰胺安全含量定為 1 ppm，比以上計算保守。不過它原本把 TDI 定為 0.63 mg/kg bw，是 FDA 估計的十倍，在這個情況下得出的結果竟與利用 FDA 的數字計算的相若，很可能是港府計錯數，但錯有錯著。

香港的安全標準可能差了三百多倍？
然而上述的計算並沒有考慮鄭大班的問題，也就是說，FDA 似乎假設引致健康風險的是三聚氰胺的濃度而非它的累積攝取量。這到底是否事實，或這樣的假設是否合理，我不懂醫學不敢說，不過我們也不妨計算一下一旦累積攝取量才是關鍵的話，TDI 應是多少。

以累積攝取量計算，前述的第四項實驗最少，只有 417 × 14 = 5838 mg/kg bw 便出事。假設老鼠一生有八十歲（這當然不可能，但這是為了把結果投射到人類身上而作的假設），那麼要一生的三聚氰胺總攝取量低於 5838 mg/kg bw 的話，平均每天的 NOAEL 便要低於 5838/(365 × 80) = 0.2 mg/kg bw。這遠低於先前的估計 63 mg/kg bw。所以 TDI 的數字應該乘上 0.2/63 = 1/315 以作修正，也就是說：

• 成年人的三聚氰胺 TDI 應為 2.52/315 = 0.008 ppm = 8 ppb；
• 嬰兒的應為 1/315 = 0.003 ppm = 3 ppb。

伸延閱讀：
群魔亂舞的 2.5 ppm; The Sky of Gene
Melamine found in pesticides, human food chain, say experts; Inquirer.net
三聚氰胺 (melamine) 追追追 (上); 科學，就是醬
來看看賣儀器的如何戳破馬政府的謊言; 比爾王的福利委員會

Confidence Interval

Chainsaw 在 1-555-CONFIDE blog 談信賴區間 (confidence interval, CI) ，令我憶起以前如何向學生解釋這個概念。電鋸先生說「Confidence Interval 其實最錯的解釋，是幾多 % 機會母數是在這個區間之內」，這只是部份正確。討論 CI 時令人混淆的，是論者往往沒講清楚他們正在談論的 CI 究竟是隨機區間 (random interval) 還是該區間的實現 (the observed/realised CI) 。舉例說，若

$$X_1, X_2, \ldots, X_n \sim N(\mu,1),$$
其中 $\mu=0$，不過我們並不知道這個真實數值，因此我們想尋找一個 $\mu$ 的信賴區間。中六的統計學告訴我們，$\mu$ 的 95% CI 為

$$I = \left(\overline{X}_n - \frac{1.96}{\sqrt{n}},\ \overline{X}_n + \frac{1.96}{\sqrt{n}}\right). \ldots\ldots (\ast)$$
由於 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是隨機的，所以 $\overline{X}_n$ 也是隨機變數，而 $I$ 是個隨機區間。此時，若我們說 $\mu$ 有 95% 的機會處於區間 $I$ 之內，一點也沒有錯。然而，當我們真正觀察了（比方說） $n=16$ 次 $X$ 的數值，並發現（比方說）$\overline{X}_n=0.5$ 的時候，我們並不能說 $\mu$ 有 95% 的機會落在由此所得的信賴區間 $I = (0.01, 0.99)$ 之中。始終，在 $(\ast)$ 中的隨機區間 $I$ 只有 95% 的機會涵蓋 $\mu$，誰能保證我們觀察 $I$ 的時候不會遇著餘下 5% 的情況？事實上，在本例中 $\mu=0$，因此 $\mu$ 屬於區間 $(0.01, 0.99)$ 的機會率永遠是 0，而不是 95%。這是很重要的一點：對任何已被觀察的信賴區間 $I$ 來說，$\mu\in I$ 是一個 0 與 1 的問題。$\mu$ 是未知的常數，不是隨機變數（$\overline{X}_n$ 才是隨機變數），若本來 $\mu\notin(0.01, 0.99)$，不管你再做幾多次實驗，$\mu$ 依然不屬於 $(0.01, 0.99)$。

那麼我們應該如何詮釋 $(0.01, 0.99)$ 這個信賴區間？答案是這樣的：

隨機區間 $I=\left(\overline{X}_n - \frac{1.96}{\sqrt{n}},\ \overline{X}_n + \frac{1.96}{\sqrt{n}}\right)$ 有 95% 的機會會涵蓋 $\mu$，如果我們相信自己並非那麼倒運遇著餘下的 5% 情況的話，那麼按照我們的觀察，$\mu$ 應該（這個「應該」是絕對的 100%，不是 95%）介乎 0.01 與 0.99 之間。

Confidence interval 的所謂 confidence，並不是指我們很有信心這個區間會準確，而是說我們「出來行講個信字」，自信沒有運滯，因而相信 $\mu$ 落在觀察所得的 CI 當中。

與此相關的是如何理解 CI 的闊度。假設我們觀察了 $n = 10000$ 次，發現 $\overline{X}_n$ 依然等於 0.5，因此獲得信賴區間 $I = (0.4804, 0.5196)$。由於在本例中 $\mu=0$，雖然這個新的 CI 比舊有的 $(0.01, 0.99)$ 窄了許多，但它並不比舊有的更加準確。

由於我們無法保證觀察所得的 CI 會涵蓋 $\mu$，因此 CI 的闊度與 $\mu$ 的準確度 (accuracy) 無關，它表示的其實是對 $\mu$ 的估計的精密度 (precision)。在舊的 CI 中，我們相信 $\mu$ 介乎 0.01 與 0.99 之間，究竟是 0.1 左右、0.5 左右還是 0.9 左右，十分說不準。新的 CI (0.4804, 0.5196) 則精密得多，若取一個小數位的話，我們相信 $\mu= 0.5$。然而精密的未必準確（無論是新舊兩個 CI， $\mu = 0$ 都不在其中），準確的又未必精密（若有第三個 CI 指 μ 介乎 −0.1 與 +0.1 之間，它會比第二個 CI 準確，但不及其精密）。

當然，一般看報章（例如報道民意調查）或學報，我們都假設有關的統計準確，因此較精密的統計比較不精密的更有用。SARS 肆虐期間，政府遲遲不肯公佈患者的死亡率，後來醫管局終於聯同兩間大學的醫生並倫敦帝國學院的傳染病學權威 Prof. Christl A. Donnelly 共十九人在 Lancet 出了一篇論文 Epidemiological determinants of spread of causal agent of severe acute respiratory syndrome in Hong Kong 去估計 SARS 的 fatality rate，獲全球傳媒報道。這是我見過最 overhyped 的學術文章了，所用的方法也許在學術上算正規（主要是 Gamma distribution 的 MLE），但得出來的 CI 卻闊得驚人，對六十歲或以上的患者，CI 是 (35.2%, 52.4%)，說了等於沒說；即使是六十歲或以下的患者，其 CI (9.8%, 16.8%) 的精密度亦甚低。其實死 9.8% 的病人與死 16.8% 的病人已不可同日而語，超過三成患者失救，死亡率的 CI 更沒意思，不如乾脆說情況嚴峻好過。

如何處置舊書

棄書的下場：「大量厚皮英文書籍，供電影道具拍攝之用」
Source: 精神書局

近年一來年紀大了，二來蝸居細小，很想把一些不常看的舊書處理掉。我是惜書之人，所謂「舊」書大部份都不止九成新，其他的因為書本鋪了塵，即使清理後，封面和書的邊緣仍帶點塵漬，但內頁仍是新簇簇的。

處置舊書，我懂得的方法有五種。一是當垃圾扔掉或當廢紙回收，這我實在不忍，尤其是較厚的書籍，若要把它擠進廢紙回收箱的開口，必須把書撕開，很讓人受不了。二是把書送給同事或朋友，可是我正在待業，沒有同事，朋友們又和我一樣蝸居細小，除了極少數書籍之外，這個方法根本行不通。

第三種方法是把書捐到志願團體的圖書館或自修室。這是最能保證書得其所的做法，我在升大學的時候也試過，不過現在連一些大學圖書館也有書滿之患而要把書賣掉，一般服務中學生或弱勢社群的志願團體是否願意收書，我不清楚。況且我現在的藏書有多少適合這些場所，也成疑問。

第四個辦法是把書賣掉，這又可以細分為四種做法。最簡單的莫過於等志願機構舉辦書籍回收或義賣活動，然而此等活動既不定期，宣傳又不足，路途亦遙遠，以至常有失諸交臂或咫尺天涯之感，況且這類活動亦多以中學生為對像，我的藏書也未必合適。另外也可以把書賣給二手書店，可是今時今日香港的二手書店所餘無幾，較出名的如阿麥書房，所賣的書籍文化氣息太濃，像我輩粗人所讀之學術書、工具書或沒那麼文史哲的文史哲書，不知它肯不肯給我寄賣。但最關鍵的仍是這些書店太過遙遠，一旦書籍賣不出，不知會否要我拿回家，連車費也虧掉。

要賣舊書，也可到 eBay 或像鄧小樺一樣在自家網誌叫賣，可是前者與阿麥相反，賣的基本上都是漫畫和一些十三、四歲少年才會看的書籍。即便如此，往往也沒有人出價，像我看的老餅書，我懷疑能否賣得出。至於在小博叫賣，我看可以免了。儘管近來得蒙宋以朗先生垂青，小博久不久便登上《東南西北》網誌^[1]，可這只是特殊情況。小博的經常讀者，我很懷疑有沒有十個^[2]。到底在下不是鄧小樺，不是相識滿天下，在此處叫賣，仿如發出空谷足音，唔慌唔係 alone in the dark。

無論在 eBay 拍賣還是在小博叫賣，都有一個致命弱點，就是難以一次過售出大批書籍。買賣成立就要交收，我住在這個出名孤立的天水圍城，總不成每次付幾十元的車資來回巿區去賣一本可能只售二三十元的書吧，坐車的時間我是有的，可是交通費卻沒有。要別人到天水圍交收嗎？同樣是天方夜談。

最後一種方法是參與香港電台的漂書行動，由於天水圍正好有一個漂書點，所以到目前為止這似乎是最可行的方法了。不過港台沒有說清楚當書籍漂流了一段日子之後，若沒有人看的話我是否有責任回收。此外港台亦要求放漂者為書籍寫一段書評和拍一張照片，寫書評不是問題，但我可沒有數碼相機或能照相的手機。也許下星期問人借部相機，試試把幾本書漂出去吧。

如何大家有甚麼好提議的話，不妨說來看看。有時我會想，也許最好的方法是維持現狀，反正小弟是個對人冷血，但對物件容易感傷之人。雖說是不常看（甚至買回來後沒看過）的書，但要到割捨的時候，還是會感到難過的。

[1] 當然，被連上並不表示獲認可，可能只是宋先生認為我的吹水話正好反映了某些港人的偏頗看法而已。
[2] 在下是易犯七宗罪之人，所以早於今年五月已經停止統計瀏覽人數。