2012年9月17日星期一

Fate/Legco: 機器學習與選舉工程

有兩夫婦與一位鄰居遇到海難，三人各乘一艘只可載一人的充氣快艇逃生。大海茫茫，暴風雨迫近。他們估計所餘燃料只夠二人逃走，究竟誰要犧牲？最後三人相持不下，全數沒頂，這是誰的責任？
前言
剛過去的立法會選舉，民主黨於新界西全軍覆沒。另一邊廂，公民黨的兩人競選名單成為新界西票王，獲 72185 票之多，扣除首席所需的基本票額之後，餘額卻不夠令名單中排次位的余若薇連任。有人指摘公民黨策略錯誤，既分薄了民主黨票源，又平白浪費選票。

本文將運用機器學習 (machine learning) 技巧，說明根據過往經驗，今屆各次滾動民意調查當中，即使民主黨的支持度處於最高峯 (14%) 的時候，其形勢也有很大隱憂。多數時候，民調結果更顯示民主黨有全滅危險。民主黨要保住一席的話，只要棄車保帥就可以，因此它遭全滅，完全是它自身策略錯誤所至。

過往最常見的選舉分析方法，是從滾動調查所得的政黨支持度，按多項式分佈的常態逼近 (normal approximation to multinomial distribution) 來計算勝機。一般期刊文章，若要以票站調查結果來模擬比例代表制之下的選舉結果，就是用多項式分佈。這樣做的最大好處，在於可以隨時更新評估結果。原則上，此方法更可以納入整體形勢，而不是對每張名單都只按它自己的支持度來計算勝機。然而，遠在選舉提名期尚未結束，政黨連有甚麼對手都未清楚之時，這個方法就不適用。

本文將提出一種靜態的研究方法，它只依賴過往的選舉結果，並不需要（但也可以用）最新的民意調查結果。它無法動態地考慮通盤選舉形勢，但它可以於選舉提名期間，就用來評估分拆或分併競選名單的風險。作者將估計勝算的問題聯繫到數據科學中的「分類問題」(classification problem)。解決問題的方法稱為 logistic regression，以今日的標準來看，只是統計學與數據科學 (data science) 的初等技巧，但足以應付眼前的新界西個案。

基本須知
本文假設讀者知道何謂比例代表制，亦明白本地立法會選舉比例代表制所用的最大餘額法當中，黑爾數額 (Hare quota) 的意思。從某個角度而言，黑爾數額是一張擁有多名候選人的競選名單當中，每名候選人所能消耗的票數上限。與此相關的是特羅普數額 (Droop quota)，它是保證一名候選人當選所需的票數下限。近年網上多了談及 Droop quota 的文章（例一、例二），可是為求完整，以下亦會稍作說明。

以今年新界西選區為例，各黨派一起競爭 9 個議席。問題：無論其他名單得票若干，民主黨的李永達名單，至少要有幾多得票率，方可保證於任何情況下當選？

答案是 $\frac1{10}$。理由：設 9 位當選者的得票率為 $p_1, p_2, ..., p_9$。若李永達取得 $\frac1{10}$ 的票仍不夠當選，那即是說每名當選者的得票率 $p_i$，必然較 $\frac1{10}$ 為高，故此

$$
\begin{align*}
&\phantom{=}李永達與\ 9\ 位當選者的總得票率\\
&= \frac1{10} + p_1 + \ldots + p_9\\
&> \frac1{10} + \underbrace{\frac1{10} + \ldots + \frac1{10}}_{9 個}
\quad（因為每個\ p_i\ 都大過 \frac1{10}）\\
&= 1.
\end{align*}
$$
亦即是說，李永達與 9 位當選者的得票率總和，竟然大於 1，這顯然是不可能的。同一道理，若選區有 n 個議席，只要排於名單首位的某君取得
$$d_1(n)=\frac1{n+1}$$ 的票，不管其他對手取得幾多票，此君亦鐵定當選，否則就會出現「部份候選人的得票率總和竟然大於 1」這件邏輯上不可能發生的事。上面這個 $d_1$，就是一般文章所講的 Droop quota，也就是保證排於名單首位的候選人取得一席所需的安全線。

機器學習：得票率與選舉結果的關係
Droop quota 只是一條安全線，它是當選的充份條件 (sufficient condition) 而非必要條件 (necessary condition)。候選人越過它，則鐵定當選，但不越過也有可能當選。以今屆立法會選舉新界西的結果為例（下表，綠色當選，紅色落選），十六張名單爭奪 n=9 個議席，安全線為 $d_1(9) =  \frac1{9+1} = 0.1$。從表中可見，九名當選者之中，只有郭家麒一人越過安全線（即是得票率 $\ge 0.1$）。



現實中，經常有候選人未達安全線但仍當選。當然，得票率愈接近安全線，候選人就愈篤定，反之風險愈高，如何量度這個風險？

我們可以憑歷屆選舉結果，評估得票率與當選機會之間的關係，但首先要就選區議席數目調整得票率。舉例說，對一個有 9 個議席的選區（安全線 $d_1(9)=0.1$），若一張名單的得票率為 v = 0.08，應該有不錯的勝算。然而，換了是一個只得 4 個議席的選區（安全線 $d_1(4) = 0.2$），0.08 的得票率就未免離安全線太遠。因此，若一張名單的得票率為 v 而選區議席數目為 n，我們會考慮以下這個「規範得票率」：

$$
\textrm{normalized proportion of votes}\ v' = \frac{v}{d_1(n)} =(n+1)v.
$$v' 愈接近 1，即代表該選舉名單愈接近安全線。搜集從 1998 年起四屆立法會的選舉數據，可將歷屆各參選名單的規範得票率與選舉結果圖列如下。（由於 $v'\ge1$ 就必然當選，故下圖並不包括 $v'\ge 1$ 的例子。）
圖一：1998-2008 年立法會選舉各候選名單的規範得票率
從圖中可見，過往當 v' 介乎 0.5 至 0.8 的時候，當選與落選的例子混雜。這引出以下問題：若某候選名單估計會有某規範得票率 v'（譬如 v'=0.75），那麼，根據過去經驗，我們認為該名單的首席候選人會否當選？

這就是機器學習理論所謂的「分類問題」。換句話來說，我們希望憑規範得票率 v' 的數值，就可以將候選名單歸入「當選」或「落選」其中一類。當然，從上圖可知，當選與落選名單的規範得票率之間，並無一條清晰界線。因此，機器學習理論的做法，是將過往的選舉結果稱合 (fit) 到一條概率曲線之上，如下圖。譬如圖中顯示，若某名單的 v'=0.75，我們即相信該名單有 0.83 的機會當選。顧名思義，一般分類問題的目的，是為了替目標對像分類，不過我們這裏的着眼點，是評估一張競選名單的當選機會，而不是賭它會不會當選，因此我們不會說「v'=0.75 時，我們相信該名單會當選」，而只會說它有 0.83 的勝算。
圖二：用概率曲線稱合 1998-2008 年的規範得票率
如何稱合概率曲線？答案是用 logistic regression。Logistic regression 是統計學與機器學習理論之中的初等方法。詳情相信大部份讀者沒有興趣知道，故此處不贅。上圖是作者利用歷屆立法會選舉結果，從統計軟件 R 計算所得，稱合的勝算曲線為：
$$f(v') = \frac{1}{1+\exp(7.899974-12.664143v')}. $$
方法利弊
從規範得票率的歷史數據來學習當選機會，有利有弊。如文首所說，它最大的好處，是只依靠歷史數據，完全不需理會現狀，甚至遠在上屆選舉剛剛結束，今屆選舉提名期尚未開始之時，即可找出稱合的勝算曲線。

然而這也是它最大的毛病。我們固然可以於民意調查開始之後，將政黨的最新支持度當成得票率，再從勝算曲線讀出當選機會，這樣做卻忽略了對手的選情。這好比打麻雀只盯着自己摸回來的牌，而不顧其他三家一樣，並非善用情報的方法。

此外，由於這個方法只依賴歷史數據，但各政黨的排陣、支持度與選區議席數目皆因時而異，故此歷史經驗未必適用。事實上，今屆有選區（新界西與新界東）議席增加為九個，就前所未見，不過以前已經試過一區有八個議席，所以這還不算是大問題。最嚴重的，是現況完全超出過去經驗的時候，稱合所得的曲線就會變成廢物。例如根據 1998-2008 年的數據，若我們想稱合一張名單會取得第二席的勝算曲線，就會遇着這樣的情況，不過本文重點是取得第一席的概率，故詳情此處不贅。

換句話說，儘管 logistic regression 背後有堅實的統計學基礎，但歷屆選舉並非處於同樣條件的統計事件，因此我們實際上並非用 logistic regression 來解決一個統計問題，而僅僅是把它當成一種插值法，用來將曲線稱合到數據當中。這也算是沒辦法之中的辦法，卻也是讀者必須留意的一點。

圖表詮釋
今屆民主黨於新界西用李永達、陳樹英兩張名單參選。去屆該黨於新界西取得 23.25% 的選票。今屆安全線為 $d_1(9)=0.1$，若該黨得票率與上屆相若，則已超過兩張名單越過安全線所需，所以，毋須任何麻煩的分析，只要民主黨能夠令支持者比較平均地投票給兩張名單，就幾乎可以保證全取兩席。

只不過，「得票率與上屆相若」 這個假設，於民意調查甫一開始時，就已經站不住腳。



以上七次滾動調查結果，以最尾一次最利民主黨。暫且假設這個結果可信。根據此結果，民主黨的支持度有 14%。原則上同黨各名單的支持度是不可相加的，原因是選民可能「投人」而不是「投黨」，不投李永達，也未必會改投陳樹英，更何況有些人本來投的就是遊離票。只不過以舊鑑新總要有個標準，因此本文仍假設選民乃按黨派投票，而同一黨的支持票是可以於各名單之間轉移。這樣，我們應如何看待民主黨這 14% 的支持度？

記民主黨的得票率為 $v_\max$，並設李永達名單的得票率為 v，因此它的規範得票率為 $\frac{v}{d_1(9)} = 10v$，而陳樹英名單的規範得票率為 $10(v_\max-v)$。故此，根據歷屆數據，李、陳兩張名單的勝算分別為 $f(10v)$ 與 $f\left(10(v_\max-v)\right)$。若民主黨新界西的總得票率真的如調查所得，即 $v_\max=0.14$，那麼李、陳兩者的勝算曲線有如下圖，其中藍線代表李永達，黑色虛曲線代表陳樹英，橫軸為李永達的得票率（不論是李永達的曲線還是陳樹英的曲線）。例如九月七日的民調顯示李永達的支持度為 0.08，圖中顯示了這個情況之下，陳樹英的勝算為黑色曲虛線的高度，亦即 0.43，而李永達的勝算為藍色曲線的高度，即 0.9。

從這幅圖也可推出兩人皆勝或兩人皆輸的機會率。當李永達的支持度為 0.08，陳樹英的支持度就是 0.14 - 0.08 = 0.06，比李永達低。若陳樹英當選，由於李永達得票比她多，因此亦必然當選。換句話說，當陳樹英的得票比李永達低的時候，她的勝算實際上就是兩者皆勝的機會率，而李永達的落選機會率就是兩人皆輸的機會率。同一道理，可知圖中紅色部份的高度，代表兩人全滅的機會率，綠區高度代表兩人全勝的機會率，而黃區高度代表兩人中只得一人當選的機會率。以李永達的得票率為 0.08 為例，兩人全勝的機會率為 0.43（圖中深綠色直線長度），兩人全滅的風險為 0.1（赤色直線長度），而李勝陳敗的機會率為 0.47（暗黃直線長度）。
圖三：從九月七日民調所得的民主黨勝算曲線
分析
政黨派兩張（實際上等於一人的）名單參選，目標不外以下兩者：
  1. （全攻型）務求全取兩席。
  2. （防守型）確保一席，並伺機提高另一張名單的勝算，情況轉壞則棄車保帥。
九月七日的民調指民主黨所享的支持度為 14%。若此支持度不變，而民主黨務求兩張名單皆勝，就要靠配票來提高全勝的機會率。下圖顯示，若要將全勝的機會保持於五成以上，李永達的得票率就必須維持於 (0.062, 0.078) 這個範圍之內，得票率的誤差不能大於 0.016（圖中綠色橫線長度），亦即所有支持票的 (0.016/0.14) × 100% = 11.4%；以去屆該區的總投票人數 398292 人來估計，即誤差不能大於 6373 票。靠配票令兩張名單得票相差不多於六千幾票，換了是民建聯應該能輕易辦到。民主黨的支持者並非鐵票部隊，但是上述這個準確度照計尚算寬鬆。

吊詭的是，要提高全勝機會，亦自然會提高全滅的風險，原因是綠區的頂峯即是紅區的尖端。最有全勝把握的時候，也是全滅風險最大之時。圖四之中，若民主黨要將全勝機會保持在五成以上，全滅的風險就會介乎 0.12 至 0.27 之間。0.27 的全滅概率，或 1 - 0.27 = 0.73 的全勝機會算不算高，我不知政黨怎麼想，我自己就覺得「唔湯唔水」，有點微妙，不過也不是去到要令人非常警惕的地步。故此，若民主黨要採取全攻型策略而不棄保，也是合理的。

只是，這背後隱藏了一個假設，就是民主黨的支持率真的如民調所說，有 14%。
圖四：總得票率 0.14，全勝機會 0.5 或以上
民意調查當然並非毫無誤差。九月七日的調查，樣本數為 503，而民主黨的支持度為 0.14。若以常用的 95% 信賴區間來計算，民主黨支持度的誤差可達 $1.96\sqrt{\frac{0.14(1-0.14)}{503}} = 0.03$ 之多。換句話說，即使民主黨實際的支持度為 0.14 - 0.03 = 0.11，也不是甚麼奇怪的事。


事實上，前述 NOW 新聞台的多次民意調查，都顯示民主黨的支持度低迷，只得 11% 左右，直到最後兩次民調，才忽然上升至 14%。如此情況下，究竟我們應該相信之前的結果，認為後來兩次有統計誤差，抑或相信民意真的變強，實在見仁見智。然而，問題是，即使民主黨的支持度真的變強了，民調的誤差也沒有 3% 那麼大，我們仍不能排除 14% 這個數字有誤差，而民主黨的真正問題，是即使它的支持度只下降少許，勝算也會大幅改變。

前面提過，若李、陳兩張名單的總得票率為 $v_\max$，李永達的得票率為 $v$，則陳樹英的得票為 $v_\max-v$。因此，若李永達的得票率不變，但民主黨的總得票率 $v_\max$ 下降一個單位，陳樹英的勝算曲線就會向左移動一個單位。下圖顯示了民主黨的總得票率為 0.14, 0.13, 0.12 及 0.11 時的情況。圖中可見，若李永達的得票率為 0.08，而民主黨的總得票率由 0.14 跌至 0.13，則全勝機會會由 0.4 以上大降至 0.2 以下；若總得票率降至 0.11，而李永達的得票率並無改變，則民主黨的全勝機會更是近乎零。
圖五：民主黨的全勝機會，對總得票率十分敏感
就算民主黨的真正得票率只下降 0.01，配票也會變得異常困難。見圖六。當 $v_\max = 0.13$，全勝機會最多也不到六成。若要將全勝機會維持於五成或以上，配票的準確度就要在 0.006 之內，或支持票的 (0.006/0.13) × 100% = 4.6%；以去屆投票人數來計算，即是 2400 票左右。換了是民建聯，恐怕也未必做得到。何況選舉當日的票站調查結果以及配票都會有誤差，若對配票準確度的要求太高，配票策略很容易泡湯。困難之餘，全滅的風險亦變得相當大，介乎 0.33 與 0.41 之間。為追求不到六成的全勝機會而冒上超過三分之一的全滅風險，實在不是明智的做法。
圖六：民主黨的勝算曲線 ($v_\max=0.13$)
要減低全滅的風險又如何？見圖七。若要將風險局限於兩成以下，全勝的機會就頂多得 0.34，並不值得期待。

由此可見，即使民主黨的支持度只下跌 0.01，守勢已比攻勢來得現實和明智。
圖七：民主黨的勝算曲線 ($v_\max=0.13$)
若支持度下降到 95% 信賴區間的下限 0.11 的話，情況就更嚴重了。見圖八。兩條曲線圍成一個紅色的死亡大三角，民主黨全勝的機會頂多只有三成，全滅風險卻可以高達七成。若如上例般，想將全滅風險保持於兩成以下，則全勝機會最多只剩 4%。若這樣的情況下仍希冀全勝，簡直異想天開，棄車保帥才是唯一合理策略。
圖八：民主黨的勝算曲線 ($v_\max=0.11$)
討論
以上各種情形顯示，若民主黨的支持度真的達到如選前最後兩次民意調所指的 14%，它不棄車保帥，還算合理。今次選舉，結果民主黨的得票率只有 11.77%。如果我們據此指摘民主黨之前過份樂觀的話，只是事後孔明。然而，按九月七日的民調結果，只要民主黨的總得票率下降 0.01，全攻型策略已經變成不夠現實。鑑於民主黨的全勝機會對總體得票率太過敏感，而民意調查結果及配票也會出現誤差，因此，除非主事人懷着 wishful thinking，或者於九月七日民調結果公布後，認為自己有可靠方法提高總得票率，否則，為免全滅，民主黨當時是應該棄車保帥的。

（至於誰是車，誰是帥，就很難說。我自己就比較希望棄李保陳，但這是另話。）

既然選舉結果已經揭盅，我們難免要事後孔明一番。民主黨於新界西最後得票率為 0.1177，李永達為 0.0658。憑過往經驗，這個情況的勝算有幾高？見下圖。
圖九：事後孔明圖 ($v_\max=0.1177, v=0.0658$)
Fate/Legco
有人指摘余若薇參選分薄了民主黨票源，連累民主黨全滅。余若薇分薄了民主黨票源固然是事實，然而，根據上述分析結果，按當時形勢，民主黨是應該棄車保帥的。它最後得票 11.77%，九月七日的民調結果則為 14%，兩者都夠一張名單越過安全線。要避免全滅，保持原有的一席，技術上十分容易，但它沒有這樣做。因此，今次全滅完全是民主黨自己的責任，與人無尤。

然而，亦有人說，若余若薇不參選（或者不落力競選第二席，而只是保郭家麒當選），則民主黨可全取兩席。故此，就算李永達落選的責任不在余若薇，她仍是連累了陳樹英丟了另一席。

我不能同意這種論調。誠然，若余若薇不參選，就算支持余若薇的票並不完全流向民主黨，添給陳樹英的部份應該也足夠令她當選。事後看來，要將余若薇的票過給李永達與陳樹英，令民主黨取得兩席，亦比將陳樹英的票過給李永達與余若薇，令他們連任容易。然而，說余若薇連累陳樹英，講到這個議席彷彿本來就屬於陳樹英一樣，是十分奇怪的。若問余若薇為何不退選，為何不反過來問，何以陳樹英不退選？候選人參選，是為了提供一個選擇給選民；選民投票，是為了選出能夠代表他們的議員。議席並非議員的私有物，民主派的候選人，對選民來說，更非隨便一個也可以代表他們，個個一樣的替代品。即使議席是議員的私有物，余若薇本來就有一個議席，她有何義務要將議席拱手相讓給本來並無議席的陳樹英？

有兩夫婦與一位鄰居遇到海難，三人各乘一艘只載一人的充氣快艇逃生。大海茫茫，暴風雨迫近。他們估計所餘燃料只夠二人逃走，究竟誰要犧牲？最後三人相持不下，全數沒頂，這是誰的責任？

有人指摘該名鄰居不肯自我犧牲，成全兩夫婦。你話呢？

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