2011年5月20日星期五

又六合彩

吓?史上頭獎獎金最高嘅一億元六合彩都開咗咯,你而今先來講?

無錯,本博就係慢半拍。本來無打算寫,不過睇到啡大的昃思庭先生講「大包圍」,就勾起條筋嘞。

一個好簡單嘅問題:大包圍買六合彩,可唔可以 arbitrage?

呢個問題驟睇起來好簡單,但實際上都要清清楚楚計過條數先知。

Preliminaries
六合彩買六個冧把,共有 13983816 種組合。假設各組合出現的機率相同,咁樣一注能中頭獎至七獎嘅機會為:
(∗): p = (p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7)
           = (1, 6, 252, 630, 12915, 17220, 229600) / 13983816.
順帶一提,以上概率的總和,只有 0.0186,亦即你買一注,有錢分嘅機會(那怕係安慰獎),只有 1.86%;買一張電腦飛(四注),有錢分嘅機會,亦頂多係 [1 - (1-0.0186)4] × 100% = 7.25%。

好。而今假設你喺 last minute 先決定大包圍,13983816 種組合各買一注,又設
T = turnover = 你未下注前的投注額
N = 你未下注前的投注總注數 = T/10
t = 大包圍所需投注額
J = Jackpot = 多寶彩金
根據馬會嘅規則,分配獎金時,首先會計算四至七獎的彩金:
P4 = 9600 × 四獎中獎注數
P5 = 640 × 五獎中獎注數
P6 = 320 × 六獎中獎注數
P7 = 40 × 七獎中獎注數
假設箇班友係隨機咁買,而佢地第 i 獎嘅中獎注數為 Wi。因此
P4 = 9600 × (W4 + 630)
P5 = 640 × (W5 + 12915)
P6 = 320 × (W6 + 17220)
P7 = 40 × (W7 + 229600)
之後先至計算頭、二、三獎嘅獎金。首先,將總投注額扣走嘅 46%,用來交稅,做慈善,做行政費等等。之後扣除四至七獎的彩金。剩低嘅,再扣走 9% 做累積金多寶。於是餘額為:
A = [0.54 × (T+t) - (P4 + P5 + P6 + P7)] × 0.91.
頭、二、三獎嘅獎金係咁樣計算:
P1 = 0.45 × A + J1
P2 = 0.15 × A + J2
P3 = 0.40 × A + J3
其中 J1, J2, J3 加埋,係上期若頭/二/三獎無人中而撥入今期嘅獎金。呢筆數細部嘅金額為何,馬會並無公佈。呢度我只好簡單咁當 J1 = J(多寶獎金), J2 = J3 = 0。總括來講,你分到嘅頭獎至七獎獎金為
P'1 = (0.45 × A + J) / (W1 + 1)
P'2 = (0.15 × A) × 6 / (W2 + 6)
P'3 = (0.40 × A) × 252 / (W3 + 252)
P'4 = 9600 × 630
P'5 = 640 × 12915
P'6 = 320 × 17220
P'7 = 40 × 229600
而我地最終要計算嘅,係 E(P'1 + P'2 + P'3 + P'4 + P'5 + P'6 + P'7)。呢個其實唔係咁易計,原因係 E(P'1) 至 E(P'3) 嘅計算,會牽涉 E[Wj / (Wi + c)] 形式嘅期望值 (i ≤ 3 < j),而 Wi 又同 Wj 相關。好在(對投注者來講就唔好彩啦)各 pi ≈ 0(特別係三獎或以上),因此不妨用以下嘅 approximation:
E[Wj / (Wi + c)] ≈ E(Wj) / E(Wi + c) = (N × pj) /  (N × pi + c)

理想:得你一條友投注
昃思庭考慮嘅情況,係得你一條友投注,因此上面的 T, N 及各 Wi 都等於 0,並且對於 j≥4,有 P'j = Pj。此外,大包圍 13983816 注,動用的資金為 t = 13983816 × \$10 = \$139,838,160。故此你分得的獎金為
(P'1 + P'2 + P'3 + P'4 + P'5 + P'6 + P'7)
=  [0.54 × t - (P4 + P5 + P6 + P7)] × 0.91 + J + (P4 + P5 + P6 + P7)
=  0.4914 × t + 0.09 × (P4 + P5 + P6 + P7)] + J
因此,要回本的話,上式要等於 t,所以累積多寶獎金最少要有
J = 0.5086 × t - 0.09 × (P4 + P5 + P6 + P7) = \$68,510,968.176
今期多寶獎金有 J = \$85,618,703。如果真係得你一條友投注,兼且大包圍,咁就穩賺 \$17,107,735。

現實
今期開彩前約五分鐘(即我寫上一篇吹水文嘅時候),馬會公佈投注總額為 T = \$319,943,790(三億幾),所以 N = T/10 = 31994379。如前述,設 J1 = J,而 J2 = J3 = 0。夾夾埋埋,可以計到
P'1 ≈ 45083723
P'2 ≈ 6347879
P'3 ≈ 16927677
P'4 = 6048000
P'5 = 8265600
P'6 = 5510400
P'7 = 9184000
以上七項,總計回報為 \$97,367,278(約九千七百萬),同大包圍投注所需嘅 \$139,838,160(約一億四千萬)相比,預計要蝕 \$42,470,881(約四千二百萬)。

後記:開彩後,新聞報道是次總投注額為 3.43 億,比我在開彩前見到的數字 3.20 億只多出 0.23 億,所以大包圍的話,虧損數字應有幾百至一千萬的調整,但整體仍是虧蝕。

結語
按昃思庭嘅假設,若今期只有一個人投注,而且係大包圍,咁佢投注一億四千萬,可以穩賺無賠。但係現實係有其他人投注,今鋪如果真係大包圍,反而會蝕四千幾萬,咪話唔甘。

如果多寶獎金夠高,大包圍又係咪必贏策略?好難講。第一,多寶獎金 J 滾得愈高,街邊嘅投注額 T 亦會趨高,若果 T/J 變大,反有機會令大包圍者分到嘅頭、二、三獎獎金 P'1, P'2, P'3 變小。第二,大包圍嘅最大風險,係有其他人實行同樣策略,令獎金攤得重薄。

其實好多年之前,已有江湖傳聞話有集團用大包圍方式 arbitrage。後來(1992年)六合彩有頭獎獎金上限,聽講就係要打擊呢種 practice。而今雖然取消咗上限,但係相信馬會係有計過條數,令大包圍者無咁容易得逞。

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