民間電台（之三）

黃世澤：垃圾電話唔管只管民間廣播的福佳電訊管理局
電訊管理局：民間電台對航空通訊頻道造成有害干擾

早幾天於本博吹水時才提起民間電台，想不到接著就有新聞。

民間電台廣播能否干擾到機場通訊？從物理上講，機會不大，不過確有可能。FM 廣播可以傳幾遠，有許多因素限制，地形是其中之一。民間電台設於柴灣某廠廈廿三樓，以每層樓底 4.5m 計，如果電台發射站設在屋頂，那它離地起碼有 103.5m，所以它的 radio horizon 於無遮擋的情況下，該有 3.569 × sqrt(103.5) km = 36.3 km，超越了它跟機場之間的距離。當然，香港環境多高樓大廈，平地又少，超短波電訊可達的距離，應該要打個折扣，不過從機場收到民間電台電波，並非無可能，天上的航機就更加無受地形限制。

假設民間電台的電波不受遮擋，那它會否干擾到機場通訊？從原則上來講，所謂電波干擾，其實就是電波波形的疊加 (superposition)，所以嚴格來說，只要一條天線同時接收到兩組電波，那就一定有干擾。例如事旦台的電波其實無時無刻不在干擾鴉洲屍奀奀的電波，反之亦然。問題是你的接收器（收音機、電視機等等）能否分辨那組電波歸那組電波。如果它分得出，那從實際意義來說，就不算干擾了。

當我們說某電台 ── 例如商業一台 ── 以 88.1 兆赫作 FM 廣播時，數學上它其實並非真的以 88.1 兆赫作廣播，而是以無限多組不同頻率的電波同時廣播，只不過功率較高的電波，都集中於 88.1 兆赫的頻率附近。這個「附近」有多近，就定義了所謂頻寬。頻帶實際上有多寬視乎各地 FM 廣播制式的技術規則而定。以美國為例，若一條頻道的頻寬達 240 kHz，那麼頻道以外的電波功率，最多只有頻道以內的電波功率的一萬分之一。換句話說，如果商台用 A, B 兩條頻道廣播，A 頻道是 FM 88.1 MHz，B 頻道是 FM 88.1+0.24 = 88.34 MHz，那麼當兩組廣播的發射功率相若，B 頻道「踩過界」到 A 頻道的電波強度（與功率成正比）只會有 A 頻道的廣播電波強度的萬分之一，理論上根本不可能構成干擾，

只不過理論歸理論，由於傳送及接收電波的過程中難免有雜訊，所以收音機會有線路過濾，可是這又帶來一種叫 capture effect 的副作用，令到頻道相近的電波還是有可能互相干擾。

話雖如此，民間電台以 FM 102.8 廣播，而機場通訊頻道又全在 118 MHz 以上，以每條頻道 250 kHz 的頻寬估計，兩者隔了起碼六十條頻道，絕對稱不上相近。除非前者輸出功率很高，否則很難相信會構成嚴重干擾。事實上，民航處長羅崇文兩年前曾經如此說：

民航處長：民間電台沒干擾航道頻率
(明報)2008年1月12日

立法會議員李卓人提問民航處長羅崇文，該處過去10多年頻道被干擾的情况時，羅崇文坦言，機場的航道頻率間中受到干擾，但主要是無線電話、傳呼機、的士傳呼台，而干擾情况近年已經減少，但他沒有提及「民間電台」干擾該處的運作。

羅崇文回應李卓人的提問時表示，民航處使用的空中管制頻率和地面導航的無線電頻率高於 FM102.8很多，故不會受到干擾。

據稱，民間電台的發射功率只有 2-10W。根據電訊管理局的《香港聲音廣播服務頻率表》，如此輸出功率，最多只屬區域廣播，比起港台及商台作全港廣播所用的 100-3000kW 功率低得多。根據美國聯邦通信委員會的說法，就算是 100W 的發射功率，服務的也不過是 5.6 km 的距離：

Low Power FM Broadcast Radio Stations
"These stations ... operate with an effective radiated power (ERP) of 100 watts (0.1 kilowatts) or less, with maximum facilities of 100 watts ERP at 30 meters (100 feet) antenna height above average terrain (HAAT). The approximate service range of a 100 watt LPFM station is 5.6 kilometers (3.5 miles radius)."

她的一份調查報告甚至指，只要兩個功率一高一低的發射站相距超過 1.1 km，而彼此相隔最少三條頻道，那麼應該不會有干擾問題：

Report to the Congress on the Low Power FM Interference Testing Program
The Mitre Report states that, even in the worst case, no third-adjacent channel interference between an LPFM station and an existing full-service FM station will exist beyond a radius of 1.1 kilometers around the LPFM transmitter site. The Commission’s technical studies similarly showed that LPFM stations do not pose a significant risk of causing interference to existing full-service FM stations or FM translator and booster stations operating on third-adjacent channels.

所以電訊管理局的指控，實在有點耐人尋味。

我相信民航處是完全從技術上出發的，也相信民間電台的廣播最近曾經干擾到民航處的通訊，不過基於種種原因，我更相信民間電台造成的干擾是偶發事故。技術上的事情，我等外行人本來不好說，但是若民航處只是循例投訴，而電訊管理局卻拿這個做取諦民間電台的藉口的話，就太過卑鄙了。始終，如羅崇文所指，合法的電波通訊干擾到民航處通訊的情況比比皆是。電訊管理局這次，算選擇性執法吧。

參考資料及相關網頁

1. Frequency Modulation (a book chapter)
2. 通訊導論(I)；Chapter 4: Frequency Modulation；彭康竣
3. Power vs. Distance
4. AM and FM Radio Frequencies; HyperPhysics
5. Minutes of the Thirty-First Meeting; Radio Spectrum Advisory Committee, OFTA
6. 民間電台（之一、之二）（本博舊文）
   

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Update 1. 哪，外行人寫東西就是有一知半解的問題。上文有一個非常嚴重的缺失，就是機場通訊似乎不是用 FM，而是用 AM。維基百科的 Capture effect 條目如是說：

Amplitude modulation, or AM radio, transmission is not subject to this effect. This is one reason that the aviation industry, and others, have chosen to use AM for communications rather than FM, allowing multiple signals to be broadcast on the same channel.

實際上如何避免 FM 廣播干擾到機場通訊，似乎是有一份稱為 ITU recommendation ITU-R SM 1009-1的指引的（這份文件要付錢才買得到，所以我不清楚其內容）；民間電台干擾到航空通訊的機會有多大，要再考究才知道，不過我認為民間電台的干擾只是偶發事故這個想法，依然無變。無視更常做成干擾的源頭，只針對民間電台，怎樣想都不妥。

參考資料

1. Y.C. Leung, Frequency Planning for FM Broadcasting Service, 2008
2. Olov Carlsson, Frequency and Network Planning for FM Sound and Analogue TV Broadcasting

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Update 2. 民間電台台長阿牛話佢剛剛換了新機，出事後已立即轉回用舊機云云。

麻雀之寫到嘔

昨晚以一人之力，差不多將中文維基百科的「麻雀」條目完全重寫，還擺了電鋸早前的東莞牌大作上檯。見這個 snapshot。

如果工作上也如此積極就好了。

Symphony of Lights

《2分17秒》(Flashforward) 第九集：



哈哈！


伸延閱讀：民間電台（之二）。此乃本博舊文。「幻彩詠香江」現時佔用了三條 FM 頻道，但每天只播放不足一小時。

Held nomogram as a high school maths project

數學是不少科學的語言，所以其學習至關重要，可是對中學生來說，科學上實際應用到的數學若非太深，就是太零碎，因此中學老師往往很難令學生有學習的動機，而學生對數學亦往往有「不知學來幹甚麼」或「數學=計算=背公式」的刻版印象。

美國的中學數學課程，不時會引入一些專題習作，讓學生可以瞭解數學在現實中的應用。然而要尋找一個夠 realistic 但又不過份艱難的習作題目，極為困難。

今日在電鋸那邊，看到一種叫 nomogram 的東西，我覺得可以拿來當示範題目。話說有某條基於 Bayesian statistics 的公式，給出 q=prior probability, p=p-value 及 Q=minimum posterior probability 之間的關係：

Q=1/(1 + (1-q)/(BF×q)),

其中 BF 是 p 的一個函數，其實際公式視乎所假設的統計分佈而定。例如在某個較一般的情形下，有

BF = -e×p×log(p)（這裏 e = exp(1)）

這條公式並不複雜，理論上也很有用，但不知何解，以上公式在科學研究之中就是不普及，於是有位叫 Leonhard Held 的仁兄設計了一幅圖表，令以上計算變得非常簡單，從而希望該公式會更容易為人接受。他設計的圖表如下。若知道 q, p, Q 三者之中的兩者，只要在圖中連一直線，即可讀出第三者。下面的紅、綠、藍三條直線，就是三個例子：
當我第一眼看見這個圖表的時候，就不禁想，q, p, Q 之間明明有著非線性關係，怎麼用直線就可以連起三者？當然，只要細心想一想，要得到答案並不困難。實際上也只不過是一些 change of variables 而已。有興趣的讀者不妨先想一下，才看下面的答案。我覺得「如何將上述公式化為 Held nomogram」，是一個很好的專題研習。製圖其實是數學史中重要的一環，所以題目本身有其重要性；這裏涉及的統計學背景又只到中七程度，不算太難解釋；將公式化為圖表所用的數學，更是中三、四程度的普通算術，一般中學生於老師指導之下，應該應付得來。

答案：
從 Q=1/(1 + (1-q)/(BF×q))，不難推導出 Q/(1-Q) = BF×q/(1-q)。因此，若設

x = -log[q/(1-q)],
y = (1/2)×log(BF),
z = log[Q/(1-Q)],

那就有

y=(x+z)/2

也就是說，若 Held nomogram 中三條同等間距的縱軸由左至右為 x, y, z，那麼 x, y, z 將呈直線關係。所以，只要將各縱軸上的標記換算回本來的 q, p 及 Q，即可得出 Held nomogram。舉例說，若真的使用上圖中的數值：

q = 0.01 × (99.5, 99, 98, 95, 90, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10, 5, 2, 1, 0.5);
p = (10^-6, 10^-5, 10^-4, 10^-3, 10^-2, 0.05, 1/e);
Q = 0.01 × (0.001, 0.002, 0.005, 0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50);

那麼 x, y, z 的範圍就如下圖：
由於 x 的範圍與 z 的範圍差異太大，所以為了美觀，需要托高 z 軸，因此作出修正如下：

z = log[Q/(1-Q)] + z₀.

因為 y=(x+z)/2，所以 y 亦要修正為

y = (1/2)×(log(BF) + z₀).

z₀ 是多少，要視乎你想將 z 軸托高幾多，例如最自然的修正，就是將 x 與 z 的數值範圍的中央對齊：

z₀ = min{x} - min{z} + [ (max{x} - min{x}) - (max{z} - min{z}) ]/2.

這樣就有與 Held 的圖表差不多的效果：

《神之水滴》獲獎

法國著名葡萄酒雜誌 La Revue du vin de France 於一月十二日給日本漫畫《神之水滴》(Les Gouttes de Dieu) 頒發 2010 年度的「評判特別大獎」，以表揚它「向大眾，尤其是喜愛漫畫的年輕人，開啟葡萄酒的世界」云云。

這其實算是舊聞，不過昨天看到，還是嚇了一跳。日本漫畫真的令人不能不佩服呢！相比若非打鬥就是替政府推銷財政預算案的香港漫畫，怎能教人不唏噓。

一個英語好屎者的自白

我雖然大學畢業，但以生活上的英語來說，恐怕連鬼仔初中生的水平都未到。始終，以前在大學混所需的學術用英語與日常英語是大有分別的。

英文應該怎麼教，是一個一向都爭論不休的問題。有些人主張教文法，背生字，有些則主張盡量學習日常對話。身為老餅，少時所學的當然是前一套。

由於自己的日用英語不靈光，所以我一向都以為自己所學的那一套是垃圾，不過這套垃圾偶然都有一點「長處」：

1. 我們可能會認識一些一般西人也未必識的生字。例如日前我寫了封函件，我的澳洲老闆批改時，就驚訝地問 parsimonious 一字是甚麼意思。我沒想過他會不懂，所以比他還驚訝。另外，某次一位在香港出生但於英國長大的高學歷朋友問起 genocide 一字怎解，也令我懷疑她是否在跟我開玩笑。
2. 我們串字往往比鬼仔準確，原因是我們不靠拼音。因此，我們很少搞錯 you're 跟 your，it's 跟 its 等等，更不會連 potato 都串錯。
3. 故此，儘管我們的英語發音往往謬誤百出，但若以「錯別字」來比喻的話，我們的謬誤多是「別音」（例如將 challenge 讀作 ── 以通勝拼音來比喻 ── 近似「叉輪廚」而非近似「車輪廚」），而不是「錯音」（例如將 nuclear 讀成 nucular）。
4. 還有一個比較特殊的情形，是西人似乎很容易將以 -neous 或 -nious 作結的生字（例如上述的 parsimonious，還有 homogeneous 等等）當成 -nous 來讀，就算是對著正確地串出的文本唸時，也不例外。這種情況我見過許多次。我們因為先背生字，所以較少漏掉 -neous 或 -nious當中的 e 或 i。

不過兩害相權取其輕嘛 …… 我還是寧願自己懂得用日常英語與鬼佬（或 preferably 鬼妹，if that matters）溝通。

伸延閱讀：順帶一提，challenge 的音標 ˈtʃæl.ɪndʒ 當中的 æ，原來大有政治學問。咁都得？

難怪北極企鵝多

(Inspired by Target population; 1-555-CONFIDE blog)

在民建聯的奇幻世界，有南極企鵝和北極企鵝。這是一個奇妙的世界。

現在，請閱以下問題。毋須計算答案，瞭解問題就夠了：

奇幻世界有 7,000,000 隻動物，包括 1,736,623 隻企鵝，其中隨機地抽了一批，放在某個有 700 間房的園區之中。若 4.7% 的房間有北極企鵝，在以下每種情況之下，試估計奇幻世界的北極企鵝總數。

(A) 每間房只得一隻動物。
(B) 每間房兩隻動物，但最多只得一隻是北極企鵝。
(C) 每間房的動物數目不明。

依照民建聯的奇幻邏輯，以上三種情況的答案，都是 1,736,623 × 4.7% = 81,621。

這真是一個奇妙的世界。

xxxxxxxxxx

話說民建聯搞了個民意調查，訪問了 700 人，其中問到：

3. 據你所知，你既朋友或親人有冇試過吸毒後駕駛呢？

根據調查結果，民建聯得出如下推論：

另外，在是次調查中， 4.7% 受訪者表示，曾有朋友或親人試過吸毒後駕駛的情況，若以本港現時 1,736,623 名領有正式駕駛執照的總人數來推算，我們估計約有 81,621 名駕駛人士曾試過吸毒後駕駛，有關情況令人憂慮（見問題３）。

若將「房間」換成「受訪者」，「房中動物」換成「受訪者認識的親友」，「企鵝」換成「駕駛者」，「北極企鵝」換成「吸毒駕駛者」，那麼以上的 (C) 情形就最接近民建聯的問題 3 了。（不過也只是接近而已，原因請見電鋸的統計學剖析。）

調查報告「估計約有 81,621 名駕駛人士曾試過吸毒後駕駛」，這是怎樣算出來的？

答案就是 81,621 = 1,736,623 × 4.7%。

真是奇妙的推論。其實，莫講含有不明參數的 (C) 情形，就算是 (A) 或 (B)，這個 81,621 的推論，都仍然是錯的。就連這樣簡單的算術都計錯，咁樣「猜 my best」，也難怪民建聯的人會以為「北極，人少企鵝多」了。

Random shuffling

Doing the Microsoft Shuffle: Algorithm Fail in Browser Ballot; Rob Weir: An Antic Disposition

這是我近日看過的一篇有趣文章。話說歐盟控告微軟的 IE 造成壟斷，雙方後來和解，同意於新版本的 Windows 之中加入選單畫面，讓用家選擇安裝喜歡的瀏覽器（見下圖）。選單中五種瀏覽器的位置，是隨機決定的，不過上述網誌的作者卻發現，五種瀏覽器的位置，實在稱不上是均勻分佈 (uniformly distributed)。後來他深入研究微軟「兜亂」(shuffle) 五個位置所用的程式碼，發現結果相當不平均。

要兜亂一個序列，或者用數學化一點的語言來說，要生成一個隨機置換（這裏「隨機」的意思當然不是照字面解，而是照一般人的用法去解，也就是不止隨機，還要均勻分佈），最方便穩妥的辦法當然是 Fisher-Yates shuffle。用一行 pseudocode去講，就是

p = {1, 2, 3, 4, 5}; for (i=n; i>1; --i) swap(p[i], p[rand(i)])

微軟捨此不用，反而做類似以下的事情：

p = {1, 2, 3, 4, 5}; sort(p, RandomSort)

當然，p 並非隨機序列，按其內容排序，並不會得出隨機結果，所以微軟排序時，用了以下的隨機「比較函數」(comparator)：

function RandomSort (a,b) {return (0.5 - Math.random());}

換句話題，當你為兩個數目 a 與 b 排大小時，程式所看的並非 a 的數值是否真的小於 b，而是隨機產生一個介乎 -0.5 與 +0.5 之間的數字 x = 0.5 - Math.random()，若 x 是負數，便扮作 a<b；若是正數，則扮作a>b；若 x=0，則當 a=b。

利用這樣的隨機比較函數，當然也會得出隨機置換，只不過置換的分佈既不夠平均，亦因排序方法而異。其實腦筋清楚並對中學的統計學稍為有點認識的人，根本都不會犯上這種錯誤，所以前述文章令我喜歡的地方，並不是它有甚麼令人意外的發現或結論，而是作者竟然肯花那麼多時間去找出實際錯誤的來源。這種探究精神，才真的令我佩服。

該網誌的留言亦非常值得一看。例如 #27 的 Tom 問，若將 Fisher-Yates shuffle 改動成 for (i=1; i<=n; ++i) swap(p[i], p[rand(n)])，為甚麼不算均勻置換？#31 的 Dave 就回答得相當精闢。Tom 另外提及 for (i=1; i<=n; ++i) swap(p[rand(n)], p[rand(n)])，其問題所在也是有趣的思考材料甚至面試題目。（有無讀者可以用簡單的方法指出問題所在？）留言 #52 及 #53 則反映原來人們對統計學的認識，可以相當出人意表。留言 #92 則指出原來微軟所用的蠢方法，一個有名的 Javascript 教學網站亦有教！至於留言 #95 的 Issac 君，與文章作者同樣具探索精神。他發現用微軟所用的隨機比較法，五個位置的置換結果於不同的排序方法之下，差異可以頗為巨大。詳見：

Randomizing by Random-Comparison Sorting (Revisited); 2718.us blog