From math.SE:
1) Let $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$ be all the roots of a polynomial $g(x)$ (defined over the complex field) with rational coefficients. Suppose $f(x)$ is an arbitrary polynomial with rational coefficients. Is $\prod_{i=1}^n f(\xi_i)$ necessarily a rational number? Prove your assertion.
2) Show that the following determinant is nonzero:
$$
\left|\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & \ldots & \ldots & \ldots & 2010 & 2011\\
2^2 & 3^2 & 4^2 & \ldots & \ldots & \ldots & 2011^2 & \color{red}{2012^2}\\
3^3 & 4^3 & 5^3 & \ldots & \ldots & \ldots & \color{red}{2012^3} & 2012^3\\
\vdots\\(k-1)^{k-1} & k^{k-1} & (k+1)^{k-1} & \ldots &
2011^{k-1} & \color{red}{2012^{k-1}} & \ldots & 2012^{k-1}\\
k^k & (k+1)^k & (k+2)^k & \ldots & \color{red}{2012^k} & 2012^k & \ldots & 2012^k\\
\vdots\\
2010^{2010} & 2011^{2010} & \color{red}{2012^{2010}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 2012^{2010}\\
2011^{2011} & \color{red}{2012^{2011}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 2012^{2011}\\
\end{matrix} \right|.
$$
3) An order $n$ matrix $A$ has exactly one nonzero entry on each row and each column, whose value is either $1$ or $-1$. Show that $A^k=I$ for some positive integer $k$.
4) Define the "product" of two $n\times n$ matrices $A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$ as
$$
A\circ B = \left(\begin{matrix}
a_{11}b_{11} & a_{12}b_{12} & \ldots & a_{1n}b_{1n}\\
a_{21}b_{21} & a_{22}b_{22} & \ldots & a_{2n}b_{2n}\\
\vdots\\a_{n1}b_{n1} & a_{n2}b_{n2} & \ldots & a_{nn}b_{nn}
\end{matrix}\right).
$$
If $A$ and $B$ are positive definite, show that $\mathrm{rank}\,A\circ B\le(\mathrm{rank}\,A)(\mathrm{rank}\,B)$.
5) Suppose $f_1,f_2,\ldots,f_{2012}$ are 2012 different linear transformations on a vector space $V$. Does there exist a vector $\alpha\in V$ such that $f_1(\alpha),f_2(\alpha),\ldots,f_{2012}(\alpha)$ are mutually different? Prove your assertion.
6) Suppose $A$ and $B$ are positive definite matrices of order $n$. Prove that they can be simultaneously congruence-diagonalized by some invertible matrix $T$.
7) Let $f(\alpha,\beta)=g_1(\alpha)g_2(\beta)$ be a symmetric bilinear form on a Euclidean vector space $V$ over a field $P$. Show that there exist some linear function $h(x)$ and some $k\in P$ such that $f(\alpha,\beta)=kh(\alpha)h(\beta)$.
8) For any $n$-dimensional Euclidean vector space $V$, show that there are at most $n+1$ vectors such that the angle between any two of them is obtuse.
11) Given that the following linear transormation is a rotation in $\mathbb{R}^3$. Find the rotation axis and the angle of rotation.
$$
\left(\begin{matrix}x'\\ y'\\ z'\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}
\frac{11}{15}&\frac{ 4}{15}&\frac{ 2}{ 3}\\
\frac{ 4}{15}&\frac{13}{15}&-\frac{1}{ 3}\\
-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{ 3}.
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}x\\ y\\ z\end{matrix}\right)
$$
2012年11月12日星期一
藍皮書
陶傑,拿美國人的錢,黃金冒險號(專欄),香港:蘋果日報,2012-11-12。專欄作家每天供稿,寫得多自然錯得多。雷公教授如是,陶才子亦如是。
香港兩家大學爆發罵戰。原來浸會大學的「中國研究中心」,發表「藍皮書」,指中文大學的通識課程,接受美國資助,向學生灌輸美國的普世價值觀。然後中大指對方誹謗。
這一大段新聞,問題多了,一件件拆。
首先,「藍皮書」是香港七十年代一本暢銷的色情雜誌,廣受文化教育低下人士歡迎。浸大的一些大陸學者,可能太過崇洋,看見美國人有「白皮書」,英國人有「綠皮書」,你叫「紅皮書」、「黃皮書」,都切合本色和身份,沒有問題,或一時貪漂亮,選了藍皮,就有了笑話。
《藍皮書》確實是香港於七、八十年代除了《龍虎豹》以外的另一本暢銷色情雜誌,但「藍皮書」一詞卻非當時新創。根據羅馬大學東方研究所馬西尼 (Federico Masini) 教授所著的《現代漢語詞彙的形成》(p.91),二十世紀初期,中文已有「藍皮書」這個借詞,意思指「政府年鑒」。
陶傑眼見英語有「白皮書」(white paper) 與「綠皮書」(green paper),似乎亦想當然地認為「藍皮書」是 "blue paper",可是「藍皮書」一詞,其實是 "blue book" 的繙譯。網上不難找到一個世紀以前的 blue books(例一、例二),它們一般都是政府或民間機構的曆書或統計年鑒,以藍色作封面。
此外,現在也有外國的研究報告以 "blue paper" 作名稱(例子),
後記:浸大有關刊物的正式題目其實是 Blue Book of Hong Kong: Annual Report on Development of Hong Kong,含義與傳統「藍皮書」無異。姑勿論內容,該刊物以「藍皮書」命名並無問題。
2012年11月3日星期六
死雞撐飯蓋的雷鼎鳴
我懷疑雷鼎鳴教授非常愛面子。他八月份寫了篇《偏頗的傳媒》,被人(包括在下)笑到面黃。大概他自知戇居,不敢即時反駁,反而鬼鬼祟祟地在兩個月後,才於另一篇文章結尾自辯,卻始終解釋不到,要用物理方程式才推算得出的,何以能稱為普通人的「常識」,更迴避了「可視(物體大小並未超越肉眼的光學分辨率)與可見(腦部能辨認所視物體)是兩回事」這個問題。當日天宮一號上的太空人有否「看見」香港,依然存疑。
也許雷教授認為他的自辯很有力,因而自我感覺良好,勇於點起新火頭吧。他於自辯翌日,竟然又寫一篇奇文,謂「中共化繁為簡 迅速掃『盲』」,而「把簡體字為殘體字,其用意只是要為『去中國化』的服務」(文法錯誤為雷教授原有)。
推行簡體字可以減少文盲一說,我三年前已經說過,必須區分究竟「普及教育」抑或「用簡體字」才是主因。這應該是很簡單的道理,不明白喜歡高舉「常識」及「方法學」的雷教授何以不明白。教授的奇文見報後,亦有其他人士(例一、例二)從學理反駁他粗疏的結論。詎料雷教授竟然完全放棄學術討論,反而特意寫一篇文章指摘別人(大概指陳雲陶傑)「對號入座」,扯一大堆公孫龍、令狐沖甚麼的,避重就輕,到昨日又再撰文,題為《農村發展與掃盲》。且聽他如何說:
也許雷教授認為他的自辯很有力,因而自我感覺良好,勇於點起新火頭吧。他於自辯翌日,竟然又寫一篇奇文,謂「中共化繁為簡 迅速掃『盲』」,而「把簡體字為殘體字,其用意只是要為『去中國化』的服務」(文法錯誤為雷教授原有)。
推行簡體字可以減少文盲一說,我三年前已經說過,必須區分究竟「普及教育」抑或「用簡體字」才是主因。這應該是很簡單的道理,不明白喜歡高舉「常識」及「方法學」的雷教授何以不明白。教授的奇文見報後,亦有其他人士(例一、例二)從學理反駁他粗疏的結論。詎料雷教授竟然完全放棄學術討論,反而特意寫一篇文章指摘別人(大概指
簡體字有貢獻究竟他想說的是以下何者?
1950年中國的小學入學率(要注意只是入學)是27%,老師也嚴重不足,而且又有多少人肯到農村當老師?在資源如此缺乏的條件下,使用易學得多的簡體字顯然有助掃盲。到1980年,小學入學率已升至90%。今天內地人民的文盲率已降至不足8%,與90年代後期的香港相若!
(a) 學簡體字能提高小學入學率以及識字率。讀者看得出雷教授的邏輯嗎?老實說,我看不出。身為經濟學者,連短短幾句說話也講得不清不楚,真不知他的教授位置是如何混回來的。無論如何:
(b) 提高小學入學率之後,學簡體字的人也多了,而文盲率亦降至不足 8%。
- 大陸文盲率下降,主因可能是教育制度改善了。
- 大陸文盲率下降,也可能是大陸文盲(特別是老一輩)死得早而造成的錯覺。
- 識字率的基本定義,儘管各地相同,但何謂「能讀寫文字」,細節仍可能有別,因此統計數字不能完全直接比較。
- 對一般人來說,曉得常用字已經足夠一般讀寫之用,而常用字的簡體與傳統漢字的差距,似乎不是那麼大。
- 若大陸文盲率低,簡體字就叫做有貢獻的話,台灣的文盲率更低 (2%),豈不是說傳統漢字更有貢獻?如果雷教授的意思純粹是「簡體字有貢獻」而不是「簡體字比傳統漢字有貢獻」的話,則更加是廢話。文字是傳意的工具。任何文字,只要有此功能(姑勿論此功能夠不夠強),都是「有貢獻」的。
2012年11月2日星期五
無災就無防
讀別人網誌,談近日吹襲美國東北的颱風 "Sandy", 看到作者說「無災也就無防」,覺得這句話很有意思。的確,乍看今次新聞,香港人還可能以為這個颱風是前所未見的超級風暴,但資料顯示,Sandy 的最高一分鐘平均風速為 175 km/h,比起今年七月吹襲香港的韋森特(Vincente,最高一分鐘平均風速 220 km/h,最高掛十號風球)與去年九月吹襲香港的納沙(Nesat,最高一分鐘平均風速 215 km/h,最高掛八號風球),驟眼看來並不特殊。當然,視乎地勢及其他因素,今次美國沿岸感受到的實際風力,與香港所感受上述兩個颱風的風力或有出入,不過我還是相信作者所說,是次風災之所以嚴重,純粹是受災一帶少見這種程度的颶風,因此從無防範而已。
今年七月廿一日的北京雨災亦一樣。根據紀錄,當日北京全市平均降雨量為 164 毫米,城區平均降雨量 212 毫米。如此日雨量,對香港而言屬大雨,卻也是久不久遇到,絕非罕見,更連十大單日降雨量(第十位為 323 毫米,第一位為 1926 年 7 月 19 日的 534.1 毫米)的邊都沾不上。四年前的六月七日,香港也錄得 307.1 毫米日雨量,其間更錄得有史以來最高的一小時雨量(145.5 毫米),但當日除了有兩人因山泥傾瀉罹難,並無人淹死。無他,香港慣見大雨,儘管山泥傾瀉因斜坡多而難根絕,但渠務日益改善(拆除木屋區也是重要原因),住宅區或公路上有人淹死的事故,已經絕少發生。
雖然北京市政府有許多值得詬病之處 ── 例如一度於網上瘋傳的「假坑渠」醜聞[*],北京各行車天橋(當地稱「公交橋」)的設計,以至政府隱瞞死亡人數等等 ── 其排水系統的設計標準也低得驚人(即使依足標準建造,也只是足以應付三年一遇的雨量,香港的主幹渠道則針對二百年一遇的雨量),然而七月廿一日的雨量在當地實屬罕見,就算北京市政府下定決心改善基建,要去到能應付如此雨災的地步,恐怕並非十幾年間即可辦到。
[*] 後記:得方潤老師指正,當時的「假坑渠」照片乃網民以其他地區的醜聞嫁禍北京的。檢索互聯網,原本的「假坑渠」醜聞似乎發生於四川南充市。
伸延閱讀:歷年天災的回顧,香港天文台
今年七月廿一日的北京雨災亦一樣。根據紀錄,當日北京全市平均降雨量為 164 毫米,城區平均降雨量 212 毫米。如此日雨量,對香港而言屬大雨,卻也是久不久遇到,絕非罕見,更連十大單日降雨量(第十位為 323 毫米,第一位為 1926 年 7 月 19 日的 534.1 毫米)的邊都沾不上。四年前的六月七日,香港也錄得 307.1 毫米日雨量,其間更錄得有史以來最高的一小時雨量(145.5 毫米),但當日除了有兩人因山泥傾瀉罹難,並無人淹死。無他,香港慣見大雨,儘管山泥傾瀉因斜坡多而難根絕,但渠務日益改善(拆除木屋區也是重要原因),住宅區或公路上有人淹死的事故,已經絕少發生。
雖然北京市政府有許多值得詬病之處 ── 例如一度於網上瘋傳的「假坑渠」醜聞[*],北京各行車天橋(當地稱「公交橋」)的設計,以至政府隱瞞死亡人數等等 ── 其排水系統的設計標準也低得驚人(即使依足標準建造,也只是足以應付三年一遇的雨量,香港的主幹渠道則針對二百年一遇的雨量),然而七月廿一日的雨量在當地實屬罕見,就算北京市政府下定決心改善基建,要去到能應付如此雨災的地步,恐怕並非十幾年間即可辦到。
[*] 後記:得方潤老師指正,當時的「假坑渠」照片乃網民以其他地區的醜聞嫁禍北京的。檢索互聯網,原本的「假坑渠」醜聞似乎發生於四川南充市。
伸延閱讀:歷年天災的回顧,香港天文台