又六合彩

吓？史上頭獎獎金最高嘅一億元六合彩都開咗咯，你而今先來講？

無錯，本博就係慢半拍。本來無打算寫，不過睇到啡大的昃思庭先生講「大包圍」，就勾起條筋嘞。

一個好簡單嘅問題：大包圍買六合彩，可唔可以 arbitrage？

呢個問題驟睇起來好簡單，但實際上都要清清楚楚計過條數先知。

Preliminaries

六合彩買六個冧把，共有 13983816 種組合。假設各組合出現的機率相同，咁樣一注能中頭獎至七獎嘅機會為：

(∗): p = (p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆, p₇)
           = (1, 6, 252, 630, 12915, 17220, 229600) / 13983816.

順帶一提，以上概率的總和，只有 0.0186，亦即你買一注，有錢分嘅機會（那怕係安慰獎），只有 1.86%；買一張電腦飛（四注），有錢分嘅機會，亦頂多係 [1 - (1-0.0186)⁴] × 100% = 7.25%。

好。而今假設你喺 last minute 先決定大包圍，13983816 種組合各買一注，又設

T = turnover = 你未下注前的投注額
N = 你未下注前的投注總注數 = T/10
t = 大包圍所需投注額
J = Jackpot = 多寶彩金

根據馬會嘅規則，分配獎金時，首先會計算四至七獎的彩金：

P₄ = 9600 × 四獎中獎注數
P₅ = 640 × 五獎中獎注數
P₆ = 320 × 六獎中獎注數
P₇ = 40 × 七獎中獎注數

假設箇班友係隨機咁買，而佢地第 i 獎嘅中獎注數為 W_i。因此

P₄ = 9600 × (W₄ + 630)
P₅ = 640 × (W₅ + 12915)
P₆ = 320 × (W₆ + 17220)
P₇ = 40 × (W₇ + 229600)

之後先至計算頭、二、三獎嘅獎金。首先，將總投注額扣走嘅 46%，用來交稅，做慈善，做行政費等等。之後扣除四至七獎的彩金。剩低嘅，再扣走 9% 做累積金多寶。於是餘額為：

A = [0.54 × (T+t) - (P₄ + P₅ + P₆ + P₇)] × 0.91.

頭、二、三獎嘅獎金係咁樣計算：

P₁ = 0.45 × A + J₁
P₂ = 0.15 × A + J₂
P₃ = 0.40 × A + J₃

其中 J₁, J₂, J₃ 加埋，係上期若頭/二/三獎無人中而撥入今期嘅獎金。呢筆數細部嘅金額為何，馬會並無公佈。呢度我只好簡單咁當 J₁ = J（多寶獎金）, J₂ = J₃ = 0。總括來講，你分到嘅頭獎至七獎獎金為

P'₁ = (0.45 × A + J) / (W₁ + 1)
P'₂ = (0.15 × A) × 6 / (W₂ + 6)
P'₃ = (0.40 × A) × 252 / (W₃ + 252)
P'₄ = 9600 × 630
P'₅ = 640 × 12915
P'₆ = 320 × 17220
P'₇ = 40 × 229600

而我地最終要計算嘅，係 E(P'₁ + P'₂ + P'₃ + P'₄ + P'₅ + P'₆ + P'₇)。呢個其實唔係咁易計，原因係 E(P'₁) 至 E(P'₃) 嘅計算，會牽涉 E[W_j / (W_i + c)] 形式嘅期望值 (i ≤ 3 < j)，而 W_i 又同 W_j 相關。好在（對投注者來講就唔好彩啦）各 p_i ≈ 0（特別係三獎或以上），因此不妨用以下嘅 approximation:

E[W_j / (W_i + c)] ≈ E(W_j) / E(W_i + c) = (N × p_j) /  (N × p_i + c)

理想：得你一條友投注

昃思庭考慮嘅情況，係得你一條友投注，因此上面的 T, N 及各 W_i 都等於 0，並且對於 j≥4，有 P'_j = P_j。此外，大包圍 13983816 注，動用的資金為 t = 13983816 × \$10 = \$139,838,160。故此你分得的獎金為

(P'₁ + P'₂ + P'₃ + P'₄ + P'₅ + P'₆ + P'₇)
=  [0.54 × t - (P₄ + P₅ + P₆ + P₇)] × 0.91 + J + (P₄ + P₅ + P₆ + P₇)
=  0.4914 × t + 0.09 × (P₄ + P₅ + P₆ + P₇)] + J

因此，要回本的話，上式要等於 t，所以累積多寶獎金最少要有

J = 0.5086 × t - 0.09 × (P₄ + P₅ + P₆ + P₇) = \$68,510,968.176

今期多寶獎金有 J = \$85,618,703。如果真係得你一條友投注，兼且大包圍，咁就穩賺 \$17,107,735。

現實

今期開彩前約五分鐘（即我寫上一篇吹水文嘅時候），馬會公佈投注總額為 T = \$319,943,790（三億幾），所以 N = T/10 = 31994379。如前述，設 J₁ = J，而 J₂ = J₃ = 0。夾夾埋埋，可以計到

P'₁ ≈ 45083723
P'₂ ≈ 6347879
P'₃ ≈ 16927677
P'₄ = 6048000
P'₅ = 8265600
P'₆ = 5510400
P'₇ = 9184000

以上七項，總計回報為 \$97,367,278（約九千七百萬），同大包圍投注所需嘅 \$139,838,160（約一億四千萬）相比，預計要蝕 \$42,470,881（約四千二百萬）。

後記：開彩後，新聞報道是次總投注額為 3.43 億，比我在開彩前見到的數字 3.20 億只多出 0.23 億，所以大包圍的話，虧損數字應有幾百至一千萬的調整，但整體仍是虧蝕。

結語

按昃思庭嘅假設，若今期只有一個人投注，而且係大包圍，咁佢投注一億四千萬，可以穩賺無賠。但係現實係有其他人投注，今鋪如果真係大包圍，反而會蝕四千幾萬，咪話唔甘。

如果多寶獎金夠高，大包圍又係咪必贏策略？好難講。第一，多寶獎金 J 滾得愈高，街邊嘅投注額 T 亦會趨高，若果 T/J 變大，反有機會令大包圍者分到嘅頭、二、三獎獎金 P'₁, P'₂, P'₃ 變小。第二，大包圍嘅最大風險，係有其他人實行同樣策略，令獎金攤得重薄。

其實好多年之前，已有江湖傳聞話有集團用大包圍方式 arbitrage。後來（1992年）六合彩有頭獎獎金上限，聽講就係要打擊呢種 practice。而今雖然取消咗上限，但係相信馬會係有計過條數，令大包圍者無咁容易得逞。