Held nomogram as a high school maths project

數學是不少科學的語言，所以其學習至關重要，可是對中學生來說，科學上實際應用到的數學若非太深，就是太零碎，因此中學老師往往很難令學生有學習的動機，而學生對數學亦往往有「不知學來幹甚麼」或「數學=計算=背公式」的刻版印象。

美國的中學數學課程，不時會引入一些專題習作，讓學生可以瞭解數學在現實中的應用。然而要尋找一個夠 realistic 但又不過份艱難的習作題目，極為困難。

今日在電鋸那邊，看到一種叫 nomogram 的東西，我覺得可以拿來當示範題目。話說有某條基於 Bayesian statistics 的公式，給出 q=prior probability, p=p-value 及 Q=minimum posterior probability 之間的關係：

Q=1/(1 + (1-q)/(BF×q)),

其中 BF 是 p 的一個函數，其實際公式視乎所假設的統計分佈而定。例如在某個較一般的情形下，有

BF = -e×p×log(p)（這裏 e = exp(1)）

這條公式並不複雜，理論上也很有用，但不知何解，以上公式在科學研究之中就是不普及，於是有位叫 Leonhard Held 的仁兄設計了一幅圖表，令以上計算變得非常簡單，從而希望該公式會更容易為人接受。他設計的圖表如下。若知道 q, p, Q 三者之中的兩者，只要在圖中連一直線，即可讀出第三者。下面的紅、綠、藍三條直線，就是三個例子：
當我第一眼看見這個圖表的時候，就不禁想，q, p, Q 之間明明有著非線性關係，怎麼用直線就可以連起三者？當然，只要細心想一想，要得到答案並不困難。實際上也只不過是一些 change of variables 而已。有興趣的讀者不妨先想一下，才看下面的答案。我覺得「如何將上述公式化為 Held nomogram」，是一個很好的專題研習。製圖其實是數學史中重要的一環，所以題目本身有其重要性；這裏涉及的統計學背景又只到中七程度，不算太難解釋；將公式化為圖表所用的數學，更是中三、四程度的普通算術，一般中學生於老師指導之下，應該應付得來。

答案：
從 Q=1/(1 + (1-q)/(BF×q))，不難推導出 Q/(1-Q) = BF×q/(1-q)。因此，若設

x = -log[q/(1-q)],
y = (1/2)×log(BF),
z = log[Q/(1-Q)],

那就有

y=(x+z)/2

也就是說，若 Held nomogram 中三條同等間距的縱軸由左至右為 x, y, z，那麼 x, y, z 將呈直線關係。所以，只要將各縱軸上的標記換算回本來的 q, p 及 Q，即可得出 Held nomogram。舉例說，若真的使用上圖中的數值：

q = 0.01 × (99.5, 99, 98, 95, 90, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10, 5, 2, 1, 0.5);
p = (10^-6, 10^-5, 10^-4, 10^-3, 10^-2, 0.05, 1/e);
Q = 0.01 × (0.001, 0.002, 0.005, 0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50);

那麼 x, y, z 的範圍就如下圖：
由於 x 的範圍與 z 的範圍差異太大，所以為了美觀，需要托高 z 軸，因此作出修正如下：

z = log[Q/(1-Q)] + z₀.

因為 y=(x+z)/2，所以 y 亦要修正為

y = (1/2)×(log(BF) + z₀).

z₀ 是多少，要視乎你想將 z 軸托高幾多，例如最自然的修正，就是將 x 與 z 的數值範圍的中央對齊：

z₀ = min{x} - min{z} + [ (max{x} - min{x}) - (max{z} - min{z}) ]/2.

這樣就有與 Held 的圖表差不多的效果：