Subjective probability

今早電視及報章都有報道兩艘有攜帶核彈的潛艇 ── 英國的先鋒號 (HMS Vanguard) 跟法國的凱旋號 (Le Triomphant) ── 相撞的事故。例如據《明報》報道：

【明報專訊】有英國海軍高層軍官透露，今次相撞事件發生的機會率，只有數百萬分之一。至於為何兩國旗艦級核潛艇同時未能偵測對方的存在，則是今次意外最大謎團。

（更離奇的是原來凱旋號一直不知道有碰撞發生！詳見《每日電訊報》報道。）

每次看到這類講甚麼「幾百萬分之一機會」的報道，我心裏就只有苦笑。當我們說某件事件發生的機會率為 p 的時候，這個 p 可能有兩種意思，一是 objective probability，意思就是這個 p 是經由某些實驗結果推算出來。例如有個錢幣，我們發現擲它們很多次之後，錢幣的頭像向上的比率愈來愈接近 0.6，於是我們說 p = 0.6。

另一種意思是所謂 subjective probability，也就是 p 反映了說話者對該事件會發生的相信程度。例如我亮出一枚硬幣，以 a 元作賭注和你打賭擲錢幣的結果，如果你願意押 b 元在頭像上，那麼你對擲出頭像的相信程度為 p = b/(a+b)。

Subjective probability 有其用處，但是混淆它與事件可能發生的比率卻是個錯誤。最大的問題是 subjective probability 只反映主觀意願，它跟事件的本質可以毫無關係。假設你我都只知道圓週率 π 大約是 3.14，如果我跟你賭 π 的小數點後第 999,999 個位（下稱 X）是多少，由於你看不出 0 到 9 之間那個答案較真實，你可能願意以一賠九買 X=7，也就是說你認為 X=7 的機會率為 0.1。然而 X 並不是一個隨機的數字，如果它是 7，那麼它永遠也是 7，因此 X=7 這個事件發生的比率為 1。相反，若 X 不等於 7，它永遠也不等於 7，因此 X=7 的發生比率為 0。換句話說，「X=7」這個事件發生的 objective probability 只可以是 0 或 1，不可能是 0.1。

兩艘潛艇相撞，大概沒有人重複做過有關實驗吧，即使做過，要達到 objective probability 為幾百萬分之一這個結論，實驗亦要做上最少幾百萬次才行，而這在現實中根本不可能。所謂「只有數百萬分之一」的機會率，若不是胡謅，就是表達說話者的主觀感想而已；若是後者，發言者直接說他相信這類事故很罕見便成，甚麼數百萬分之一，根本是廢話，只是個讓人覺得科學的包裝。

廿三年前，美國太空穿梭機挑戰者號升空時解體，機上七名乘員全部喪生。那次意外最恐怖的，是挑戰者號的機身解體之後，穿梭機的座艙還維持完整。由於穿梭機不像戰鬥機般有彈射系統，座艙中的機員只能在座艙墮海前的二十多秒從機身解體的恐怖中等待自己死亡。

事發之後，上世紀後半最耀目的物理學家 Richard Feynman 獲邀加入事故調查團。他發現，事前 NASA 內部對機員喪生的機會率估計大有分歧：工程師的估計較接近百分之一，而管理層的估計卻接近十萬分之一。以穿梭機的升空頻率計，後者等於說平均每三百年才有一次有機員喪生的意外。以往績計，類似穿梭機用的固體燃料火箭大約每廿五次便有一次意外，然而 NASA 的管理層認為這只是無人火箭的數據，鑒於 NASA 以往的其他載人任務非常成功，穿梭機的任務成功率亦「必然非常接近 1.0」……

有些場合我們必須從 objective probabilities 估計一些有用的 subjective probabilities，然而我們必須小心謹慎，清楚知道自己何時越過了科學與信心之間的界線。不幸地，我們並非時常清醒，而傳媒亦不巧對統計數字有種近乎盲目的信仰。