## 2012年11月23日星期五

### 2012 Peking University grad school entrance exam (Higher Algebra)

From math.SE:

1) Let $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$ be all the roots of a polynomial $g(x)$ (defined over the complex field) with rational coefficients. Suppose $f(x)$ is an arbitrary polynomial with rational coefficients. Is $\prod_{i=1}^n f(\xi_i)$ necessarily a rational number? Prove your assertion.

2) Show that the following determinant is nonzero:

$\left|\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & \ldots & \ldots & 2010 & 2011\\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & \ldots & \ldots & \ldots & 2011^2 & \color{red}{2012^2}\\ 3^3 & 4^3 & 5^3 & \ldots & \ldots & \ldots & \color{red}{2012^3} & 2012^3\\ \vdots\\(k-1)^{k-1} & k^{k-1} & (k+1)^{k-1} & \ldots & 2011^{k-1} & \color{red}{2012^{k-1}} & \ldots & 2012^{k-1}\\ k^k & (k+1)^k & (k+2)^k & \ldots & \color{red}{2012^k} & 2012^k & \ldots & 2012^k\\ \vdots\\ 2010^{2010} & 2011^{2010} & \color{red}{2012^{2010}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 2012^{2010}\\ 2011^{2011} & \color{red}{2012^{2011}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 2012^{2011}\\ \end{matrix} \right|.$

3) An order $n$ matrix $A$ has exactly one nonzero entry on each row and each column, whose value is either $1$ or $-1$. Show that $A^k=I$ for some positive integer $k$.

4) Define the "product" of two $n\times n$ matrices $A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$ as

$A\circ B = \left(\begin{matrix} a_{11}b_{11} & a_{12}b_{12} & \ldots & a_{1n}b_{1n}\\ a_{21}b_{21} & a_{22}b_{22} & \ldots & a_{2n}b_{2n}\\ \vdots\\a_{n1}b_{n1} & a_{n2}b_{n2} & \ldots & a_{nn}b_{nn} \end{matrix}\right).$
If $A$ and $B$ are positive definite, show that $\mathrm{rank}\,A\circ B\le(\mathrm{rank}\,A)(\mathrm{rank}\,B)$.

5) Suppose $f_1,f_2,\ldots,f_{2012}$ are 2012 different linear transformations on a vector space $V$. Does there exist a vector $\alpha\in V$ such that $f_1(\alpha),f_2(\alpha),\ldots,f_{2012}(\alpha)$ are mutually different? Prove your assertion.

6) Suppose $A$ and $B$ are positive definite matrices of order $n$. Prove that they can be simultaneously congruence-diagonalized by some invertible matrix $T$.

7) Let $f(\alpha,\beta)=g_1(\alpha)g_2(\beta)$ be a symmetric bilinear form on a Euclidean vector space $V$ over a field $P$. Show that there exist some linear function $h(x)$ and some $k\in P$ such that $f(\alpha,\beta)=kh(\alpha)h(\beta)$.

8) For any $n$-dimensional Euclidean vector space $V$, show that there are at most $n+1$ vectors such that the angle between any two of them is obtuse.

11) Given that the following linear transormation is a rotation in $\mathbb{R}^3$. Find the rotation axis and the angle of rotation.
$\left(\begin{matrix}x'\\ y'\\ z'\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} \frac{11}{15}&\frac{ 4}{15}&\frac{ 2}{ 3}\\ \frac{ 4}{15}&\frac{13}{15}&-\frac{1}{ 3}\\ -\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{ 3}. \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\ y\\ z\end{matrix}\right)$

## 2012年11月12日星期一

### 藍皮書

《藍皮書》確實是香港於七、八十年代除了《龍虎豹》以外的另一本暢銷色情雜誌，但「藍皮書」一詞卻非當時新創。根據羅馬大學東方研究所馬西尼 (Federico Masini) 教授所著的《現代漢語詞彙的形成》(p.91)，二十世紀初期，中文已有「藍皮書」這個借詞，意思指「政府年鑒」。

## 2012年11月3日星期六

### 死雞撐飯蓋的雷鼎鳴

1950年中國的小學入學率（要注意只是入學）是27％，老師也嚴重不足，而且又有多少人肯到農村當老師？在資源如此缺乏的條件下，使用易學得多的簡體字顯然有助掃盲。到1980年，小學入學率已升至90％。今天內地人民的文盲率已降至不足8％，與90年代後期的香港相若！

(a) 學簡體字能提高小學入學率以及識字率。
(b) 提高小學入學率之後，學簡體字的人也多了，而文盲率亦降至不足 8%。

• 大陸文盲率下降，主因可能是教育制度改善了。
• 大陸文盲率下降，也可能是大陸文盲（特別是老一輩）死得早而造成的錯覺。
• 識字率的基本定義，儘管各地相同，但何謂「能讀寫文字」，細節仍可能有別，因此統計數字不能完全直接比較。
• 對一般人來說，曉得常用字已經足夠一般讀寫之用，而常用字的簡體與傳統漢字的差距，似乎不是那麼大。
• 若大陸文盲率低，簡體字就叫做有貢獻的話，台灣的文盲率更低 (2%)，豈不是說傳統漢字更有貢獻？如果雷教授的意思純粹是「簡體字有貢獻」而不是「簡體字比傳統漢字有貢獻」的話，則更加是廢話。文字是傳意的工具。任何文字，只要有此功能（姑勿論此功能夠不夠強），都是「有貢獻」的。

## 2012年11月2日星期五

### 無災就無防

[*] 後記：得方潤老師指正，當時的「假坑渠」照片乃網民以其他地區的醜聞嫁禍北京的。檢索互聯網，原本的「假坑渠」醜聞似乎發生於四川南充市。